Question

Sejam A^-1 = | 2   -1 |
.........................| 0***1 |

e B= | 3   0 |
..........| 2   1 |

Determine, se possível, a matriz X tal que
(A^t • X)^-1 = (B^-1)^-1.

Ps: ^ = elevado a
(Com conta pfv)​

Answer 1

Resposta:

$X = \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right]$

Explicação passo a passo:

Queremos calcular a matriz X tal que:

$(A^T \cdot X)^{-1} = (B^{-1})^{-1}$

A inversa do produto é dada por:

$(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$

Do lado esquerdo então fica:

$X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} = B$

Já que a inversa da inversa de B é a própria matriz B. Multiplicando ambos os lados pela direita pela transposta de A:

$X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} \cdot A^T = B \cdot A^T$

Mas:

$(A^T)^{-1} \cdot A^T = I_2$

Que é a identidade de ordem 2, logo:

$X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} \cdot A^T = B \cdot A^T \Rightarrow X^{-1} \cdot I_2 = B \cdot A^T$

Porém:

$X^{-1} \cdot I_2 = X^{-1}$

Logo:

$X^{-1} = B \cdot A^T$

Invertendo ambos os lados e aplicando mais uma vez a propriedade da inversa do produto:

$(X^{-1})^{-1} = (B \cdot A^T)^{-1} \Leftrightarrow X = (A^T)^{-1} \cdot B^{-1}$

Mais uma propriedade pode ser usada:

$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

Finalmente temos:

$X = (A^{-1})^T \cdot B^{-1}$

Precisamos da inversa de B. Há uma propriedade de uma inversa de ordem 2. Seja a matriz B:

$B = \left[\begin{array}{cc} m & n \\ p & q \end{array} \right]$

Sua inversa será:

$B = \frac{1}{mq-pn \cdot }\left[\begin{array}{cc} q & -n \\ -p & m \end{array} \right]$

Ou seja:

$X = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \frac{1}{3\cdot 1 - 0 \cdot 2} \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 3\\ \end{array} \right]$

O que resulta em:

$X = \frac{1}{3} \left[\begin{array}{cc} 2 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 - 2 & 0+ 3 \\ \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ - 3 & 3 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right]$