Question

Sejam A ( -1, 1) , B (5. 4), C (3, 2) e D (6, 0). Determine:

a) As retas AB e BC, CD e DA
b) O ponto de Interseção entre as retas AB e BC
c) A área do polígono formado pelo encontro das retas AB, BC, CD e DA

Answer 1

Resposta:

letra A)

reta AB = $y = 0,5x + 1,5$

reta BC = $y = x - 1$

reta CD = $y = \frac{-2}{3} x + 4$

reta DA = $y = \frac{-1}{7} x + \frac{6}{7}$

Letra B) $(6,5)$

Letra C) 8,5

Explicação passo a passo:

primeiramente, calculando o coeficiente de cada uma:

$m(a,b) = \frac{4-1}{5-(-1)} = \frac{3}{6} = 0,5$

$m(b,c) = \frac{2-4}{3-5} = \frac{-2}{-2} = 1$

$m(c,d) = \frac{0-2}{6-3} = \frac{-2}{3}$

$m(d,a) = \frac{1-0}{-1-6} = \frac{1}{-7}$

Letra A:

sabe-se que a equação da reta é dada pela fórmula:

$y=mx+b$

portanto, resolvendo os sistemas para cada uma:

reta ab:

$A(-1 = x, 1 = y)\\y = m(ab)x+b\\1 = 0,5*-1+b\\1 = -0,5+ b\\b = 1+0,5\\b=1,5$

logo, temos que a reta ab é expressa pela equação:

$y = 0,5x + 1,5$

repetindo o processo para todas, temos que:

reta bc = $y = x - 1$

reta cd = $y = \frac{-2}{3} x + 4$

reta da = $y = \frac{-1}{7} x + \frac{6}{7}$

letra B) AB e CD coincidem em algum ponto que é resultado da resolução de seus sistemas:

$\left \{ {{2y = x + 3} \atop {y = x - 1}$

$y = 5$

para encontrar o x, resolvemos a equação por substituição:

$y = x -1\\5 = x -1\\x = 5 +1\\x = 6$

logo, o ponto de Interseção entre as retas AB e BC é: $(6,5)$

Letra C: o Polígono (ABCD) é formado por dois triângulos: o ABC e o ACD

a área do triângulo ABC é calculado pela resolução da matriz sobre dois:

A(abc) = $\frac{1}{2} \left[det(abc)]$

$[det(abc] = \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\5&4&1\\3&2&1\end{array}\right] = -6$

A(abc) = $\frac{-6}{2} = -3$

como não existe área negativa, esse número é modular, logo é 3

A(acd) = $\frac{1}{2} \left[det(acd)]$

$[det(abc] = \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\3&2&1\\6&0&1\end{array}\right] = -11$

A(acd) = $\frac{-11}{2} = -5,5$

somando os módulos, chegamos que A(a,b,c,d) = |-3| + |-5,5| = 3+5,5 = 8,5