Question

Sejam 3 e -2,duas das raízes de x^4+ax^3+ax^2+11x+b=0
a)Determine os valores de a e b
b)Determine as demais raízes​

Answer 1

Resposta:

Oi Gabi, espero está ajudando.

(desculpa a demora viu)

bom, vai ser o mesmo processo que a outra questão. Situação com a primeira raiz e depois com segunda

X = 3

${x}^{4} + a {x}^{3} + a {x}^{2} + 11x + b = 0 \\ {3}^{4} + a \times {3}^{3} + a \times {3}^{2} + 11 \times 3 + b = 0 \\ 81 + 27a + 9a + 33 + b = 0 \\ 36a + b + 114 = 0 \\ 36a + b = - 114$

X = -2

${x}^{4} + a {x}^{3} + a {x}^{2} + 11x + b = 0 \\ {( - 2)}^{4} + a \times { (- 2)}^{3} + a \times {( - 2)}^{2} + 11 \times - 2 + b = 0 \\ 16 - 8a + 4a - 22 + b = 0 \\ - 4a + b = 6$

$36a + b = - 114 \\ - 4a + b = 6 \: \: \: \: \: \times ( - 1) \\ \\ 36a + b = - 114 \\ 4a - b = - 6 \\ \\ 36a + 4a + b - b = - 114 - 6 \\ 40a = - 120 \\ a = - 3 \\ \\ 4a - b = - 6 \\ 4 \times ( - 3) - b = - 6 \\ - 12 - b = - 6 \\ - b = 6 \\ b = - 6$

Answer 2

Resposta: B) r3 = 1

r4 = 1

Explicação passo-a-passo:

Complementando...

B) Agora que sabemos que a = -3 e b = -6, temos que:

x^4+ax^3+ax^2+11x+b = 0

x^4+(-3)x^3+(-3)x^2+11x+(-6) = 0

x^4-3x^3-3^2+11x-6 = 0

Pelo enunciado sabemos que duas das raízes desta equação polinomial são 3 e -2. Para acharmos as outras duas vamos utilizar as relações de Girard:

Para isso vale lembrar que:

P(x) = Anx^n + An-1x^(n-1) + An-2x^(n-2) + ... + A1x + A0

Assim:

Soma = - (An-1)÷An

r1+r2+r3+r4 = - (-3)÷1

3+(-2)+r3+r4 = 3

r3+r4 = 3-1

r3+r4 = 2 (1)

r1×r2×r3×r4 = [(-1)^n×A0]÷An

3×(-2)×r3×r4 = [(-1)^4×(-6)]÷1

-6×r3×r4 = -6

r3×r4 = -6÷-6

r3×r4 = 1

r4 = 1÷r3 (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

r3+r4 = 2

r3 + 1÷r3 = 2

r3^2÷r3 + 1÷r3 = (2×r3)÷r3

r3^2 + 1 = 2×r3

r3^2 - 2×r3 + 1 = 0

Pela Soma e Produto, temos:

Soma = -b÷a

r3'+r3'' = -(-2)÷1

r3'+r3'' = 2

Produto = c÷a

r3'×r3'' = 1÷1

r3'×r3'' = 1

Sabemos que:

1+1 = 2

1×1 = 1

Então:

r3' = r3'' = r3 = 1

Agora, substituindo esse valor em 2, temos que:

r4 = 1÷r3

r4 = 1÷1

r4 = 1

Por fim, as outras raízes são:

r3 = 1

r4 = 1