Question

Seja z um número complexo tal que: Z = (\frac{2}{1-i}) ^{4} onde i é a unidade imaginária. É correto afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente a :



resp: 4 e /pi

Answer 1

Resposta:

Módulo = 4

Argumento = π

Explicação passo-a-passo:

$Z=(\frac{2}{1-i})^{4}=[\frac{2}{(1-i)}.\frac{(1+i)}{(1+i)}]^{4}=[\frac{2.(1+i)}{1^{2}-i^{2}}]^{4}=[\frac{2.(1+i)}{2}]^{4}=(1+i)^{4}=(1+i)^{2}.(1+i)^{2}=(1^{2}+2.1.i+i^2).(1^{2}+2.1.i+i^2)=(2i).(2i)=4i^{2}=4(-1)=-4\\\\|\rho|=\sqrt{(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{16} =4\\\\cos\phi=\frac{-4}{4}=-1 \Rightarrow \phi = \pi+2k\pi~~(1)\\\\sen\phi=\frac{0}{4}=0 \Rightarrow \phi = \pi+k\pi ~~(2)\\\\ de (1) e (2): \\\phi = \pi\\\\Z=|\rho|(cos\phi+i.sen\phi)\\Z=4(cos\pi)$

Answer 2

Simplificando o número complexo dado e calculando o seu módulo e o seu argumento, concluímos que, os valores solicitamos são $4$ e $\pi$, respectivamente.

Calculando o módulo e o argumento de z

Para simplificar os cálculos, vamos primeiro escrever z na forma $(x + yi)^4$. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração interna aos parênteses pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador. Assim, podemos escrever:

$\dfrac{2}{1 - i} = \dfrac{2}{1-i} * \dfrac{1 + i}{1 + i} = 1 + i$

O módulo do número complexo 1 + i é igual a:

$\sqrt{1^2 + 1^2 } = \sqrt{2}$

O argumento do número complexo 1 + i pode ser calculado escrevendo:

$arctg 1/1 = \dfrac{\pi}{4}$

Quando elevamos o número complexo 1 + i à potência 4, obtemos como resultado o número complexo cujo módulo é igual ao módulo de 1 + i elevado a potência 4 e cujo argumento é 4 vezes o argumento de 1 + i. Portanto, o módulo de z é:

$(\sqrt{2})^4 = 4$

E o argumento de z é:

$4* \dfrac{\pi}{4} = \pi$

Para mais informações sobre números complexos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51300378

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