Seja Z o conjunto dos números inteiros. Determine todas as funções f : Z → Z tais que, para quaisquer inteiros a e b, f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b))
Soluções para a tarefa
As funções existentes são f(x) = o e f(x) = 2x + q.
Se falar que A = 0, que será nosso primeiro caso,(pois ele é um inteiro temos):
F(0) + 2f(b) = f(f(b))
Se falar que A = 1, que será nosso segundo caso :
F(2) + 2f(b) = f(f(b+1))
Porém, vamos substituir os últimos componentes.
Então vamos considerar que X também é inteiro, logo.
B = X +1 que ficará
F(0) + 2(x+1) = (f(f(x+1))
essa será nossa primeira equação. (I)
No nosso segundo caso, vamos falar que B é da forma X:
F(2) + 2f(x) = F(f (x+1))
Essa será nossa segunda equação (II)
Agora vamos relacionar/igualar uma com a outra;
F(0) + 2f(x+1) = f(2) + 2f(x).
Agora eu vou juntar f(x+1) com f (x):
2f(x+1) - 2f(x) = f(2) - f(0)
Agora botando o 2 em evidência:
f (x+1) - f(x) = f(2) - f(0)/2
Logo sabemos que f(2) - f(0)/2 é uma constante/um valor.
Sabendo que razão é constante, podemos fazer uma Progressão Aritmética, mais precisamente, forçando uma.
(f(x) , f(x+1), f(x+2),....)
E uma PA pode ser escrita na forma de uma função de primeiro grau, e usarei da forma analítica, f(x)= mx+q (onde m é o coeficiente angular e que é o coeficiente linear), logo
F(x) = mx + q, sabendo que o q é um número, uma constante, que também vale pro m, mas o x não porque ele pode variar.
agora tenho que encontrar os possíveis valores de M e Q para analisar o resultado de F(x) e consequentemente, achar a solução do problema.
Agora vamos falar que F(2a) vai ser o F(X);
F (2a) = M (2a) + q
vamos fazer a mesma coisa com F(b);
F(b) = Mb + Q
e quem seria a F (a+b);
F (a+b) = m (a+b) + q, logo
F (f(a+b)) = M (m(a+b) + q) + Q
Agora substituindo, fica:
2am + q + 2(mb + q) = m(m(a+b) + q ) +q (cortando o primeiro q com o último q) ,temos:
2am + 2mb+2q = m²(a+b)+mq (aplicamos a distributiva) :
botando o 2m em evidência, ficamos:
2m (a+b) + 2q = m² (a+b) +mq (por comparação,podemos afirmar que o resultado do começo tem que ser igual ao final da igualdade).
Abrindo o sistema, tenho:
2m = m²
m = 2
m² - 2m = 0
m(m- 2) = 0
m = 0 ou m = 2
agora vamos pensar em alguns casos:
2q = mq (se for 0)
21 = 0.q
2q = 0
q = 0
se falar que m igual a 2:
2q = 2q
q = q
Então, podemos concluir que m = 2, q pertence aos inteiros.(primeiro caso)
e outra possibilidade é que se M = 0, q tem que ser 0 (segundo caso)
então pro segundo caso, temos:
f (x) = mx + q
f (x) = 0.x + 0 = 0
F (x) = 0
e pro primeiro caso, temos:
f(x) mx+q
f(x) = 2x + q , logo pertence aos inteiros.
Então as duas soluções possíveis baseados no que o enunciado disse são f(x) = o e f(x) = 2x + q aonde q é inteiro e o x é inteiro.
Por favor, favorite e dê como a melhor resposta pois essa questão deu um imenso trabalho.
Espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)