Question

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

Eu fiz tan x + 2 = 2secx → Sec x = tanx/2 +1 e travei aqui. Alguém desenrola essa questão p mim pfv? Vlw

Answer 1

❑ A razão da P.A. é 1/3

❑ Vamos solucionar essa questão, que une trigonometria e sequências, de duas formas diferentes.

❑ Primeira resolução

➯ Na primeira maneira, apenas três relações trigonométricas são necessárias:

• cos²x + sen²x = 1
• sec x = 1 / cos x

• tan x = sen x / cos x

➯ Além disso, é necessário saber que em uma P.A. de 3 termos, o termo central é a média aritmética entre o primeiro e o segundo termo. Logo:

$\boxed{a2 = \dfrac{a1 + a3}{2} }$

➯ Vamos escrever usar essa propriedade no nosso problema:

$sec x = \dfrac{tanx + 2}{2}$

$2sec x = tan x + 2$

• Note que sec x = 1 / cos x:

$\dfrac{1 \cdot 2}{cos x} = tan x + 2$

• Passando cos x para o outro lado:

$2 = cosx \cdot tan x + 2 cosx$

• Como tan x = sen x / cos x

$2 =cos x\cdot \dfrac{sen x}{cos x} + 2 cosx$

• Corta cos x com cos x:

$2 = sen x + 2 cos x$

• Isola sen x:

$senx = 2 - 2 cos x$

• Elevando os dois lados ao quadrado:

sen²x = 4 + 4cos²x - 8cos x

• Mas sen²x = 1 - cos²x (pela relação trigonométrica fundamental):

1 - cos²x = 4 + 4cos²x - 8cosx

5cos²x - 8cosx + 3 = 0

• Substituição de variável: cos x = y

5y² - 8y + 3 = 0

➯ Utilizando a fórmula de Bhaskara (caso não lembre esse conteúdo, clique aqui: https://brainly.com.br/tarefa/29514827)

$\Delta = (-8)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3\\\Delta = 64 - 60\\\Delta = 4$

$y = \dfrac{- (-8) \pm \sqrt{4} }{2 \cdot 5}$

$y = \dfrac{+8 \pm 2}{10}$

$y' = \dfrac{+8 + 2}{10}\\y' = \dfrac{10}{10}\\y' = 1$

$y'' = \dfrac{+8 - 2}{10}\\y'' = \dfrac{6}{10}\\y'' = \dfrac{3}{5}$

➯ Logo, ou cos x = 1 ou cos x = 3/5. E agora? Bem, basta olhar nosso intervalo de x: 0 < x < π/2. Se cos x = 1, então x = 0. E esse valor está fora do nosso intervalo. Portanto, cos x = 3/5.

• Assim, sec x = 5/3 (o inverso do cos x).

Para encontrar a razão de uma P.A, basta subtrair de um termo o seu anterior. Logo:

$r = 2 - \dfrac{5}{3} \\r = \dfrac{6}{3} - \dfrac{5}{3}\\\\\boxed{r = \dfrac{1}{3}}$

• Obs: Caso não lembre como encontrar a razão de uma progressão aritmética, leia em:

❑ Segunda resolução

➯ Essa resolução começa igual a anterior, por isso, vou começar a partir do momento em que fica diferente. Para entendê-la, é necessário saber que:

• tan x = cateto oposto / cateto adjacente
• a² = C.O² + C.A² (Sendo a = hipotenusa, co = cateto oposto, ca = cateto adjacente).
• Lembre do terno pitagórico 3, 4, 5. (Leia em: https://brainly.com.br/tarefa/22945402 e https://brainly.com.br/tarefa/2597531)

$2 = sen x + 2 cos x$

• Elevando ambos os lados ao quadrado:

$2^{2} =(sen x + 2 cos x)^{2}$

• Caso não se lembre sobre produtos notáveis, leia em: https://brainly.com.br/tarefa/29090260 ou https://brainly.com.br/tarefa/771780

4 = sen²x + 4cos²x + 4senxcosx

• Mas cos²x = 1 - sen²x

4 = sen²x + 4(1 - sen²x) + 4senxcosx

4 = sen²x + 4 - 4sen²x + 4senxcosx

- 3 sen²x + 4senxcosx = 0

• Colocando sen x em evidência:

senx ( - 3 senx + 4cosx) = 0

sen x = 0 (não convém, pois aí x = 0. E o intervalo diz que x > 0)

Ou...

- 3 sen x + 4 cos x = 0

4 cos x = 3 sen x

4 / 3 = sen x / cos x

• tg x = 4 / 3

Como tg x = C.O / C.A

Então:

• C.O = 4

• C.A. = 3

Logo, a hipotenusa é igual a 5 (caso não acredita, basta fazer pitágoras.

Assim:

cos x = C. A / hipotenusa

cos x = 3 / 5

Logo:

• sec x = 5/3

Para encontrar a razão de uma P.A, basta subtrair de um termo o seu anterior. Logo:

$r = 2 - \dfrac{5}{3} \\r = \dfrac{6}{3} - \dfrac{5}{3}\\\\\boxed{r = \dfrac{1}{3}}$