Question

Seja x > 0 tal que a sequência a1= log2x, a2= log4(4x), a3= log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a1+a2+a3é igual a ?( resposta e se possível explicação)

Answer 1

Bom.. queremos saber o seguinte:

A = log2 (x) + log4 (4x) + log8 (8x)

Precisamos lembrar de uma das propriedades de logarítmos, essencial pra resolver essa questão:

log a.b = log a + log b

Então:

A = log2 (x) + log4 (4) + log4 (x) + log8 (8) + log8 (x)

A = log2 (x) + 1 + log4 (x) + 1 + log8 (x)

Agora é necessário efetuarmos mudança de base:

 
A = 2 + log2 (x) + (log2 (x))/(log2 (4)) + (log2 (x))/(log2 (8))

A = 2 + log2 (x) + (log2 (x))/2 + (log2 (x))/3

Vamos agora achar log2 (x):

Mas como a1, a2 e a3 estão em PA, logo:

a2 = (a1+a2)/2

Usando as propriedades de log de produto e mudança de base, achamos que: 

log2 (x) = 3

Substituindo em A, temos A = 15/2 

É isso ai.. bons estudos!