Question

Seja x e y números inteiros positivos. Mostre quantas soluções a equação $665+2^x = y^2$ tem.

Answer 1

Sendo x e y inteiros positivos, vamos determinar todas as soluções da equação:

$\sf 665+2^x=y^2\qquad(i)$

Utilizando a ideia de paridade, fica fácil deduzir que y² ≥ 667 é um quadrado perfeito ímpar, pois este é soma de um número par com 665. Devido a isso, depreende-se que y também é ímpar, ao passo que y² ímpar jamais implica y par. Sabemos que y², por ser quadrado perfeito ímpar, só pode terminar em 1, 5 ou 9. Por este motivo, a segunda parcela (exponencial de base dois) do primeiro membro de (i) deve resultar numa potência de 2 terminada em 6 ou 4. Para isso, basta que o expoente x seja um número par positivo, logo:

$\sf x=2k$

, para k natural não nulo. Baseando-se na única possibilidade acima, é válido escrever:

$\sf 2^x=2^{2k}\qquad (ii)$

Substituindo (ii) em (i), ficaremos com:

$\sf \qquad\ \ \: \ \, 665+2^{2k}=y^2\\\\ \iff\ \ \ 665=y^2-2^{2k}\\\\\ \iff\ \ \ 665=y^2-\big(2^{k}\big)^{\!2}\\\\ \iff\ \ \ 665=\big(y+2^k\big)\cdot \big(y-2^k\big)\\\\ \iff\ \ \ 5\cdot 7\cdot 19=\big(y+2^{k}\big)\cdot \big(y-2^{k}\big)\qquad (iii)$

Lembrando que y ≥ 27 e k ≥ 1, podemos extrair, da equação (iii), todos os três seguintes sistemas:

$\begin{cases}\sf y+2^{k}=35}\\ \sf y-2^{k}=19\end{cases}$

 $\sf ou$

$\begin{cases}\sf y+2^{k}=133}\\ \sf y-2^{k}=5\end{cases}$

 $\sf ou$

$\begin{cases}\sf y+2^{k}=95}\\ \sf y-2^{k}=7\end{cases}$

Resolvendo cada um deles pelo método da adição, temos que as duas únicas soluções plausíveis provêm do primeiro e segundo sistemas (de cima para baixo). Em seguida, adicionando as duas equações do primeiro sistema, obtemos:

$\sf\qquad\quad\ \, \sf y+2^{k}+y-2^{k}=35+19}\\\\ \sf\iff\ \ \ 2y=54\\\\ ~~~~ \therefore \ \ \ \, \boxed{\sf y=27}$

E o k correspondente é:

$\sf\qquad\quad \ \: \sf y+2^{k}=35\\\\ {\implies\ \ \ 27+2^{k}=35}\\\\ {\!\iff\ \ \ 2^{k}=8}\\\\ {\!\iff\ \ \ 2^{k}=2^3}\\\\ {\!\iff\ \ \ k=3}$

Substituindo k = 3 em x = 2k, segue o x associado a y = 27:

$\sf\qquad\ \ \: \ x=2k\\\\ \implies\ \ \ x=2\cdot 3\\\\ ~~~\therefore\ \ \ \, \boxed{\sf x=6}$

Agora, somando as equações do segundo sistema, obteremos:

$\sf\qquad\quad\ \, \sf y+2^{k}+y-2^{k}=133+5}\\\\ \sf\iff\ \ \ 2y=138\\\\ ~~~ ~\therefore \ \ \ \, \boxed{\sf y=69}$

E o k correspondente será:

$\sf\qquad\quad \ \: \sf y-2^{k}=5\\\\ {\implies\ \ \ 69-2^{k}=5}\\\\ {\!\iff\ \ \ 2^{k}=64}\\\\ {\!\iff\ \ \ 2^{k}=2^6}\\\\ {\!\iff\ \ \ k=6}$

Substituindo k = 6 em x = 2k, segue o x associado a y = 69:

$\sf\qquad\ \ \: \ x=2k\\\\ \implies\ \ \ x=2\cdot 6\\\\ ~~~\therefore\ \ \ \, \boxed{\sf x=12}$

Por fim, o conjunto solução de (i) é dado por:

$\large\boxed{\boxed{\sf S=\big\{(6\,;27),(12\,;69)\big\}}}$

Resposta: a equação possui apenas duas soluções.