Question

Seja x ∈ ℤ com x ≠ 0. Mostre que a soma dos divisores inteiros de x é igual a 0.

Answer 1

A prova está abaixo.

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Sejam d₁, d₂, d₃, ..., dₙ os divisores positivos de um número x qualquer inteiro. Desta forma, existem inteiros k₁, k₂, k₃, ..., kₙ tal que:

x = d₁ . k₁

x = d₂ . k₂

x = d₃ . k₃

...

x = dₙ . kₙ

Por outro lado, como (-d₁) . (-k₁) = x, (-d₂) . (-k₂) = x, ..., (-dₙ) . (-kₙ) = x, também são divisores de x os números -d₁, -d₂, -d₃, ..., -dₙ. Fazendo a soma de forma agrupada:

d₁ + (-d₁) + d₂ + (-d₂) + ... + dₙ + (-dₙ) = (d₁ - d₁) + (d₂ - d₂) + ... + (dₙ - dₙ) = 0

Logo, soma dos divisores inteiros de x é igual a 0.

Veja um exemplo numérico:

⇒ Os divisores de 12 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12. Fazendo a soma:

(1 - 1) + (2 - 2) + (3 - 3) + (4 - 4) + (6 - 6) + (12 - 12) = 0

Até mais!