Question

Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não-vazio X num corpo k. Para
quaisquer funções f, g ∈ V e qualquer escalar k ∈ K, sejam f + g e kf as funções em V
definidas como segue:
(f + g)(x) = f(x)+g(x) e (kf)(x)=kf(x), ∀ x ∈ X. Demonstre que V é um espaço vetorial sobre K

Answer 1

Resposta:

De fato V é um espaço vetorial sobre K

Explicação passo-a-passo:

Para confirmamos essa afirmação, temos que demonstrar que V cumpre 2 condições e 8 propriedades.

As duas condições são:

Soma interna- onde a soma de dois elementos desse conjunto deve formar um elemento do conjunto.

Multiplicação por escalar- onde a multiplicação de um elemento do conjunto V por um escalar ∈ K deve resultar em um elemento de V.

As 8 propriedades são:

A1- Associatividade na adição

A2- Comutatividade na adição

A3- Existência de um elemento neutro na adição

A4- Existência do inverso aditivo (elemento simétrico)

M1- Distributividade 1

M2- Distributividade 2

M3- Existência do elemento neutro da multiplicação

M4- Associatividade na multiplicação