Question

Seja v = (1; 1; 1) um autovetor da matriz
A =
{a 1 0
1 b 1
0 1 c}
onde {a; b; c} são números reais. Calcule, se possível, a − b?

Answer 1

Como v = (1;1;1) é um autovetor da matriz A, temos que

$Av=\lambda v$

Onde lambda é um autovalor da matriz, associado ao autovetor v. Então$\begin{bmatrix}a&1& 0\\1& b&1 \\ 0&1& c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}a + 1\\1 + b + 1\\1 + c\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda\\\lambda\\\lambda\end{bmatrix}$

Então, temos

$a + 1 = \lambda \\ b + 2 = \lambda \\ 1 + c = \lambda$

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$a + 1 = \lambda = b + 2 \\ a + 1 = b + 2 \\ a - b = 1$

Portanto,

$a - b = 1$