seja um triângulo retângulo ABC e a um dos seus ângulos agudos . mostre que:
A: sen²a+cos²a=1 (relação fundamental da trigonométria)
B: tg²a+1=sec²a
Soluções para a tarefa
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a) Sejam x e y os catetos desse triângulo, oposto e adjacente ao ângulo a e z a hipotenusa
Temos que sen a = x/z e cos a = y/z
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos sen² a = x²/z² e cos² a = y²/z²
Somando:
sen² a + cos² a = x²/z² + y²/z² = (x² + y²)/z²
Mas, pelo Teorema de Pitágoras, x² + y² = z²
Logo, sen² + cos² a = z²/z² = 1
b) sec a = 1/cos a = 1/(y/z) = z/y e tg a = x/y
Assim, sec² a = z²/y² e tg²a + 1 = (x²/y²) + 1 = (x² + y²)/y²
Como x² + y² = z², segue que tg² a + 1 = z²/y²
Portanto, tg² a + 1 = sec² a
Temos que sen a = x/z e cos a = y/z
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos sen² a = x²/z² e cos² a = y²/z²
Somando:
sen² a + cos² a = x²/z² + y²/z² = (x² + y²)/z²
Mas, pelo Teorema de Pitágoras, x² + y² = z²
Logo, sen² + cos² a = z²/z² = 1
b) sec a = 1/cos a = 1/(y/z) = z/y e tg a = x/y
Assim, sec² a = z²/y² e tg²a + 1 = (x²/y²) + 1 = (x² + y²)/y²
Como x² + y² = z², segue que tg² a + 1 = z²/y²
Portanto, tg² a + 1 = sec² a
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