Question

Seja um plano definido pela função z = x + 2y, em relação a essa função pede-se: ​a) Sua interseção com o plano xz; b) Sua interseção com o plano yz; c) Qual superfície o gráfico dessa função gerará; d) Determine o valor da integral.

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Answer 1

Resposta:

11/2

Explicação passo-a-passo:

A interseção é a reta (t,0,t); A interseção é a reta (0,t,2t); A superfície é um plano; O valor da integral é 11/2.

a) O plano xz é o plano y = 0. Substituindo esse valor em z = x + 2y, obtemos:

z = x + 2.0

z = x.

Considerando x = z = t, temos que a interseção será a reta cujas equações paramétricas são:

{x = t

{y = 0

{z = t.

b) O plano yz é o plano x = 0. Substituindo esse valor em z = x + 2y, obtemos:

z = 0 + 2y

z = 2y.

Considerando y = t, obtemos z = 2t. Assim, a interseção será a reta:

{x = 0

{y = t

{z = 2t.

c) A superfície da função z = x + 2y é um plano.

d) Calculando a integral dupla abaixo, obtemos:

Substituindo os limites de integração de x:

Answer 2

As interseções serão z = x e z = 2y, o gráfico é um plano infinito e a integral resulta em 5,5.

A) A interseção será z = x

A interseção com o plano xz ocorre para y = 0, logo a equação da reta que definirá a sua interseção será z = x + 2y = x + 2*0 = x.

B) A interseção será z = 2y

A interseção com o plano yz ocorre para x = 0, logo a equação da reta que definirá a sua interseção será z = x + 2y = 0 + 2*y = 2y.

C) A superfície será um plano infinito.

O gráfico dessa função gera uma superfície do tipo plano infinito, conforme a figura abaixo.

D) O valor da integral será de 5,5.

Resolvendo a integral, lembrando que a integrais internas são resolvidos primeiramente:

$\int\limits^2_1\int\limits^3_2 {(x+2y)} \, dx \, dy= \int\limits^2_1 {[x^2/2+2yx]} \ \, dy = \int\limits^2_1 {[(9/2-4/2)+(2.y.3 - 2.y.2)]} \ \, dy$

$\int\limits^2_1 {2.y + 5/2} \ \, dy = [y^2+5/2y] = (4-1) +(10/2 - 5/2) = 3+5/2 =5,5$

Espero ter ajudado!