Question

Seja α um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC.
Se a medida da hipotenusa desse triângulo é o quádruplo da medida do cateto oposto a α, determine sen α e cos α.

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Answer 1

Resposta:

sen α = $\frac{1}{4}$ e cos α = $\frac{\sqrt{15} }{4}$

Explicação passo-a-passo:

Para determinarmos os valores de se sen α e cos α, deveremos encontrar a razão entre o cateto oposto pela hipotenusa e a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, respectivamente.

Chamando de x o valor do cateto oposto ao ângulo α, teremos que a hipotenusa do triângulo ABC vale 4x, pois a medida da hipotenusa desse triângulo é o quádruplo da medida do cateto oposto a α.

Neste sentido, o valor de sen α pode ser obtido pela razão $\frac{x}{4x}$ , ou seja, o valor de sen α é $\frac{1}{4}$ .

Chamando de y o valor do cateto adjacente ao ângulo α, podemos  afirmar, de acordo com o Teorema de Pitágoras, que:

$x^{2} + y^{2} = (4x)^{2}$

isto é: $x^{2} + y^{2} = 16x^{2}$ ⇒ $y^{2} = 16x^{2} - x^{2}$  ⇒ $y^{2} = 15x^{2}$

Portanto, $y = x\sqrt{15}$

Neste sentido, como $y = x\sqrt{15}$ representa o valor do cateto adjacente ao ângulo α e 4x é o valor da hipotenusa, temos que o cos α pode ser obtido pela razão $\frac{x\sqrt{15} }{4x}$ , ou seja, o valor de cos α é $\frac{\sqrt{15} }{4}$ .

Veja, na figura em anexo, a ilustração deste triângulo ABC e as aplicações da fórmula do seno, do cosseno e do Teorema de Pitágoras.

Dica: Acesse o link https://brainly.com.br/tarefa/22732713 para encontrar mais exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras.