Question

Seja:
$\sf f(x) = \displaystyle \sf \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac {\dfrac{1}{n^6} +4(-1)^{-n} }{n!} x^{n-1}$
Ache:
$\sf {f^{(5)} (1)}$
Tô precisando de ajuda ai pessoas!

Answer 1

Olá, boa tarde.

Seja a seguinte função $f(x)$ representada como uma série de potência de termos positivos:

$f(x)=\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot(-1)^{-n}}{n!}\cdot x^{n-1}}$.

Devemos determinar $f^{(5)}(1)$.

Sabendo que $f^{(5)}(1)$ é a quinta derivada de $f(x)$ calculada no ponto $x=1$, devemos calcular sua derivada:

$\dfrac{d^5}{dx^5}(f(x))=\dfrac{d^5}{dx^5}\left(\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot (-1)^{-n}}{n!}\cdot x^{n-1}}\right)$

Visto que o índice do somatório diz respeito à variável $n$, consideramos o operador como uma constante e teremos:

$f^{(5)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot(-1)^{-n}}{n!}}\cdot\dfrac{d^5}{dx^5}(x^{n-1})$.

Aplique a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ e calcule as derivadas iteradas: $\dfrac{d^5}{dx^5}(g(x))=\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\cdots\right.\right)}_{5~vezes}$

$f^{(5)}(x)=\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot (-1)^{-n}}{n!}\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot (n-4)\cdot (n-5)\cdot x^{n-6}}$

Então, calculamos o valor da derivada no ponto $x=1$

$f^{(5)}(1)=\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot (-1)^{-n}}{n!}\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot (n-4)\cdot (n-5)\cdot 1^{n-6}}$

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot (-1)^{-n}}{n!}\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot (n-4)\cdot (n-5)}$.

Ao expandirmos a série a alguns termos, observamos que:

$f^{(5)}(1)=0+0+0+0+\displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot(-1)^{-n}}{n!}\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot(n-5)}$

Assim, podemos considerar apenas:

$f^{(5)}(1)=\displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot (-1)^{-n}}{n!}\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot(n-5)}$

Podemos reduzir o produto, considerando a propriedade do fatorial: $n!=n\cdot(n-1)\cdots 1!$

$f^{(5)}(1)=\displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot(-1)^{-n}}{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot(n-5)\cdot(n-6)!}\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot(n-5)}$

$f^{(5)}(1)=\displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{1}{n^6}+4\cdot(-1)^{-n}}{n\cdot(n-6)!}}~~\checkmark$

Visto que o fatorial é definido como $n!,~\forall{n}\in\mathbb{Z}_{\geq0}$, finalmente temos a resposta.