Question

Seja $F \ = \ \sqrt{-15-8i}$ . Calcule F, escrevendo a resposta sob a forma a + bi, com a e b inteiros.

Answer 1

Calcular a raiz quadrada do número complexo e escrevê-lo na forma cartesiana:

      $\mathsf{F=a+bi=\sqrt{-15-8i}}$


Elevando ao quadrado os dois lados, temos

     $\mathsf{(a+bi)^2=\big(\sqrt{-15-8i}\big)^2}\\\\ \mathsf{a^2+2abi+(bi)^2=-15-8i}\\\\ \mathsf{a^2+2abi+b^2i^2=-15-8i\qquad\quad mas~i^2=-1}\\\\ \mathsf{a^2+2abi+b^2\cdot (-1)=-15-8i}\\\\ \mathsf{a^2+2abi-b^2=-15-8i}\\\\ \mathsf{(a^2-b^2)+(2ab)i=-15-8i}$


Iguale parte real com parte real, e parte imaginária com parte imaginária:

     $\left\{\! \begin{array}{lc} \mathsf{a^2-b^2=-15}&\quad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{2ab=-8}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array}\right.$


Isole  a  na equação  (ii),  e substitua na equação  (i):

     $\mathsf{a=\dfrac{-8}{2b}}\\\\\\ \mathsf{a=-\,\dfrac{4}{b}\qquad\quad(iii)}$

$\mathsf{\left(\!\!-\,\dfrac{4}{b}\right)^2-b^2=-15}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{16}{b^2}-b^2=-15}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{16-b^2\cdot b^2}{b^2}=-15}\\\\\\ \mathsf{16-b^4=-15b^2}\\\\ \mathsf{b^4-15b^2-16=0}$


Para fatorar por agrupamento, reescreva  – 15b²  como  – 16b² + b², e a equação fica

     $\mathsf{b^4-16b^2+b^2-16=0}\\\\ \mathsf{b^2(b^2-16)+1(b^2-16)=0}$


Colocando  (b² – 16)  em evidência,

     $\mathsf{(b^2-16)(b^2+1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{b^2-16=0}&\quad\textsf{ou}\quad&\mathsf{b^2+1=0}\\\\ \mathsf{b^2=16}&\quad\textsf{ou}\quad&\mathsf{b^2=-1}\quad\textsf{(n\~ao serve)} \end{array}$


Então, temos que

     $\mathsf{b^2=16}\\\\ \mathsf{b=\pm\sqrt{16}}\\\\ \mathsf{b=\pm 4}$


Por convenção, o sinal da parte imaginária da raiz quadrada de um número complexo é o mesmo sinal da parte imaginária deste número. Logo,  b  deve ser negativo:

      $\mathsf{b=-4}$


Substituindo em  (iii),

     $\mathsf{a=-\,\dfrac{4}{a}}\\\\\\ \mathsf{a=-\,\dfrac{4}{-4}}\\\\\\ \mathsf{a=1}$


Logo,

     F = 1 – 4i    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)