Question

Seja
$2 {x}^{y} - {x}^{ - y}=1$
$log_{2}(y) = \sqrt{x}$
o sistema de equações logarítimicas. Encontre os valores reais e complexos que satisfaçam ao sistema.​

Answer 1

Vamos começar manipulando a primeira equação multiplicando por $x^y$:

$2x^y-x^{-y}~=~1\\\\\\x^y\,.\,\left(2x^y-x^{-y}\right)~=~x^y\,.\,(1)\\\\\\2x^{y+y}-x^{-y+y}~=~x^y\\\\\\2x^{2y}-x^0~=~x^y\\\\\\\boxed{2x^{2y}-x^y-1~=~0}$

Perceba que, se substituirmos $x^y$ por "w", por exemplo, a equação se reduzirá a uma equação de 2° grau. Vamos fazer isso:

$x^y~=~w\\\\\\2w^2-w-1~=~0\\\\\\\Delta~=~(-1)^2-4.2.(-1)~=~1+8~=~\boxed{9}\\\\\\w'~=~\frac{1+\sqrt{9}}{2\,.\,2}~=~\frac{1+3}{4}~=~\frac{4}{4}~=~\boxed{1}\\\\\\w''~=~\frac{1-\sqrt{9}}{2\,.\,2}~=~\frac{1-3}{4}~=~\frac{-2}{4}~=~\boxed{-\frac{1}{2}}$

Voltando com a substituição feita, temos:

$\left\{\begin{matrix}x^y&=&1 \\ x^y&=&-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Note que a segunda equação $x^y=-\frac{1}{2}$ é impossível, não podemos te solução negativa (nos Reais) para uma potencia. Ficamos então apenas com $x^y=1$

Aplicando log nos dois lados da equação:

$x^y~=~1\\\\\\log\,x^y~=~log\,1\\\\\\y\,.\,log\,x~=~0\\\\\\log\,x~=~\frac{0}{y}\\\\\\log\,x~=~0\\\\\\x~=~10^0\\\\\\\boxed{x~=~1}$

Por fim, vamos substituir o valor de "x" na 2° equação fornecida pelo texto:

$log_{_2}y~=~\sqrt{x}\\\\\\log_{_2}y~=~\sqrt{1}\\\\\\log_{_2}y~=~\pm1\\\\\\y~=~\left\{\begin{matrix}2^{1}& \\ 2^{-1}&\end{matrix}\right.\\\\\\y~=~\left\{\begin{matrix}2& \\ \frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$

Temos então duas soluções para o sistema:

--> (x,y) = (1 , 2)

--> (x,y) = (1 , 1/2)