Question

Seja T um operador linear em R3 tal que (1,2,1) (0,1,0) (2,0,1) são autovetores de T associados aos valores -1,1,2, respectivamente. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz de T em relação à base canônica é igual a quanto?​

Answer 1

Utilizand oequações de autovetor e autovalor, temos que a soma da primeira coluna é igual a 12.

Explicação passo-a-passo:

Vamos supor a martiz T sendo a seguinte:

$\left[\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}\right]$

Onde nós só queremos descobrir a+b+c pois é a soma da primeira coluna.

Para isso vamos usar as equações dadas de autovalores e autovetores:

$\left[\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]=-1\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$

Nos dando as equações:

$a+2d+g=-1$

$b+2e+h=-2$

$c+2f+i=-1$

E para o proximo auto vetor:

$\left[\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$

Nos dando as equações:

$d=0$

$e=1$

$f=0$

E finalmente com o ultimo vetor:

$\left[\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]$

$2a+g=4$ ou $g=4-2a$

$2b+h=0$ ou $h=-2b$

$2c+i=2$ ou $i=2-2c$

Agora vamos voltar a primeira equação que recebemos:

$a+2d+g=-1$

$b+2e+h=-2$

$c+2f+i=-1$

Substituindo os valores das outras equações:

$a+2.0+4-2a=-1$

$b+2.1-2b=-2$

$c+2.0+2-2c=-1$

Simplificando ficamos com:

$a=5$

$b=4$

$c=3$

Agora que sabemos os valores da primeira coluna, basta somar:

5 + 4 + 3 = 12

Assim temos que a soma da primeira coluna é igual a 12.