Question

Seja T: $R^{4}$ → $R^{4}$ definido por T( x, y, z, t ) = ( 3x - 4z, 3y + 5z, -z, -t ).
a) Calcule o polinômio característico de T.

b) O operador T é diagonalizável? Justifique!

c) Encontre a matriz que representa T numa base diferente da canônica de $R^{4}$.

Answer 1

Evaluemos los vectores de la base canónica de $\mathbb R^4$en T

$T(e_1)=(3,0,0,0)\;,\;T(e_2)=(0,3,0,0)\;,\;T(e_3)=(-4,5,-1,0)\\ T(e_4)=(0,0,0,-1)$

Luego copie en columnas cada vector imagen de T

        $A=\left[ \begin{matrix} 3&0&-4&0\\ 0&3&5&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{matrix} \right]$

esta es la matriz asociada a T relativa a las bases canónicas 

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a) 

$P(\lambda)=\det(\lambda I-A)=(\lambda+1)^2(\lambda-3)^2\\ \\ \lambda\in\{-1,3\}$

b) hallemos los autovalores
Asociado a $\lambda =-1$

      $\left[\begin{matrix} -4&0&4&0\\0&-4&-5&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\\t \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\\0 \end{matrix} \right]\\ \\ -x+z=0\to x=z\\ -4y-5z=0\to y=-\dfrac{5}{4}z\\ \\ (x,y,z,t)=\left(z,-\dfrac{5}{4}z,z,t\right)=z\left(1,-\dfrac{5}{4},1,0\right)+t(0,0,0,1)$

Vectores propios: $\left\{\left(1,-\dfrac{5}{4},1,0\right)\;;\;(0,0,0,1)\right\}$


ASOCIADO A $\lambda = 3$

      $\left[\begin{matrix} 0&0&4&0\\0&0&-5&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\\t \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\\0 \end{matrix} \right]\\ \\ z=0\\t=0\\ \\ (x,y,z,t)=(x,y,0,0)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0) \\ \\-$

Autovectores: $\left\{(1,0,0,0)\;;\;(0,1,0,0)\right\}$

Los cuatro autovectores son Linealmente Independientes, por lo tanto T es diagonalizable.

c) Debe hacer una base para $\mathbb R^4$ $B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ para luego hallar $T(v_i)$ y escribirlo en combinación lineal de la base B, los coeficientes de dicha combinación irán en columna.