Question

Seja T: R³ → R³ dado por T( x, y, z ) = ( z, x - y, -z ).
a) Determine uma base de ker(T) (núcleo de T )

b) Encontre uma base de [tex] ker(T)^{⊥} , o complemento ortogonal do núcleo de T.

c) Ortonormalize a base encontrada em (b) em relação ao produto interno usual.

Answer 1

a) si $(x,y,z)\in \ker (T)\Longrightarrow T(x,y,z)=(0,0,0)$, entonces

       $(z,x-y,-z)=(0,0,0)\to z=0\;;\; x=y\\ (x,y,z)=(x,x,0)=x(1,1,0)$

Por ende, $B_{\ker (T)}=\{(1,1,0)\}$

b) hallemos una base para $\ker(T)^{\bot}$, esto es 

       $(x,y,z)\bot (1,1,0)\iff x+y=0\\ (x,y,z)= (x,-x,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1)$

Así la base es $B^{\bot} =\{(1,-1,0),(0,0,1)\}$

c) Como se puede ver, (1,-1,0) y (0,0,1) son ortogonales, por ello solo faltaría hallar los vectores unitarios correspondientes

               $H=\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\;;\; (0,0,1)\right\}$