Question

Seja T:R²→R² o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y) . Com base nesse operador, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:

I. ( ) A matriz de T com relação à base canônica do R² é [1232].


II. ( ) O polinômio característico de T é p(λ)=λ2−3λ−4


III. ( ) Os autovalores de T são λ1=2 e λ2=−4.

Answer 1

A sequência correta é V, V e F

Como T (1,0) = (1,3)T(1,0)= (1,3) e T (0,1) = (2,2), T(0,1) = (2,2), a matriz de T na base canônica do R2 é A= (1232), logo a alternativa I é verdadeira.

O polinômio pode ser caracterizado como T e então pode ser definido como: P (λ) = det ( A – λI)P(λ)= det (A – λI), desse forma temos, p(λ)=det[1−λ232−λ]=λ2−3λ−4,p(λ)=det[1−λ232−λ]=λ2−3λ−4 e isso torna a alternativa II verdadeira.

Um alto valor de T é a raiz de polinômio caracterizado, como: p(λ)=0⟺λ=−1, logo concluímos que T essa alternativa é falsa.

Bons estudos!