Question

Seja [T] =
[1 −2
2 0
−1 3]
a matriz canônica de uma transformação linear T: R2 ⟶ R3. Se T(v) =(2,4, −2), determine v.

Answer 1

Resposta:

$v=(2,0)$

Explicação passo-a-passo:

Temos a seguinte relação entre $v$, $[T]$ e $T(v)$:

$[T]\cdot [v]=[T(v)]$

$\begin{bmatrix}1 &-2 \\ 2 &0 \\ -1 &3 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\-2\end{bmatrix}$

$x\cdot\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}+y\cdot\begin{bmatrix}-2\\0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\-2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}x\\2x\\-x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2y\\0\\3y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\-2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}x-2y\\2x\\-x+3y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\-2\end{bmatrix}$

Daí tiramos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}x-2y=2\\2x=4\\-x+3y=-2\end{matrix}\right.$

Da 2º equação tiramos que $x=2$. Substituindo este valor na 1º ou 3º equação, achamos que $y=0$, concluindo assim que $v=(2,0)$.