Question

Seja r a reta que passa pelos pontos P = (1; 0) e Q = (-1; -2). Então, o ponto simétrico de N = (1; 2), com relação à reta r, é:

a) (0; 0)
b) (3;0)
c) (5/2; 1)
d) (0; -1)
e) (1; 1)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gabriela, que é simples, embora um pouco trabalhosa.
Antes de mais nada deveremos informar que iremos utilizar, na nossa resolução desta questão as fórmulas para encontrar:

a) O coeficiente angular (m) de uma reta que passe em dois pontos (x₀; y₀) e (x₁; y₁), que é esta:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀)    . (I)

b) a equação da reta quando já se conhece o coeficiente angular (m) e apenas um dos pontos por onde a reta passa (x₀; y₀), que é dada assim:

y - y₀ = m*(x - x₀)        . (II)

i) Bem, agora vamos à resposta da sua questão propriamente dita. Tem-se a seguinte questão: "Seja "r" a reta que passa pelos pontos P = (1; 0) e Q = (-1; -2). Então, qual será o ponto simétrico de N = (1; 2), com relação à reta "r" ? "

i.1) Vamos aplicar a expressão (I), que é a fórmula para encontrar o coeficiente angular (mr) da reta "r", pois já sabemos que ela passa pelos pontos : P(1; 0) e Q(-1; -2). Assim, teremos:

mr = (-2-0)/(-1-1)
mr = (-2)/(-2) --- ou apenas:
mr = 2/2
mr = 1 <--- Este é o coeficiente angular da reta "r".

i.2) Agora vamos encontrar a equação da reta "r". Para isso, utilizaremos a expressão (II), pois já sabemos que o coeficiente angular é igual a "1" (mr = 1) e já temos um dos pontos por onde ela passa (basta um ponto). Então vamos escolher o ponto P(1; 0). Assim, utilizando a expressão (II), teremos:

y - 0 = 1*(x - 1)
y = x - 1  <--- Esta é a equação reduzida da reta "r".

ii) Agora vamos para o ponto N(1; 2) e vamos encontrar qual é o ponto simétrico ao ponto N(1; 2) em relação à reta "r". Vamos chamar esse ponto de K(xk; yk).

ii.1) Faremos o seguinte: passando pelo ponto N(1; 2) traçaremos uma reta (que chamaremos de reta "s") perpendicular à reta "r" e passando também pelo ponto K(xk; yk).
Antes note que quando uma reta é perpendicular a uma outra, então o produto entre os seus coeficientes angulares (mr*ms) é igual a "-1".
Como já vimos que o coeficiente angular da reta "r" é igual a "1" (mr = 1), então vamos multiplicá-lo por "ms" e igualar o resultado a "-1". Assim:

1*ms = - 1
ms = -1/1
ms = - 1 <--- Este é o coeficiente angular da reta "s", que é perpendicular à reta "r" e que passa no ponto N(1; 2).
Para encontrar a sua equação vamos utilizar a expressão (II) e as coordenadas do ponto N(1; 2). Assim:

y - 2 = -1*(x - 1)
y - 2 = - x + 1
y = - x + 1 + 2
y = - x + 3 <--- Esta é a equação da reta "s", que é perpendicular à reta "r".

ii.2) Agora vamos encontrar qual é o ponto de intersecção entre as retas "r" e "s". Para isso, basta igualar as duas retas.
Note que temos que a reta "r" é: y = x - 1 e a reta "s" é: y = -x + 3.
Então vamos igualá-las para encontrar quais são as coordenadas do ponto de intersecção entre elas. Logo, igualando-as, teremos:

x - 1 = - x + 3 ----- passando "-x" para o 1º membro e passando "-1" para o 2º, teremos:

x + x = 3 + 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2 <--- Esta é a abscissa do ponto de intersecção.

Para encontrar a valor da ordenada do ponto de intersecção, vamos em quaisquer uma das retas. Vamos na reta "r", que é esta:

y = x - 1 ----- substituindo-se "x" por "2", teremos;
y = 2 - 1
y = 1 <--- Esta é a ordenada do ponto de intersecção entre as retas "r" e "s".

Assim, o ponto de intersecção entre as duas retas é o ponto M(2; 1).

ii.3) Finalmente, agora vamos encontrar qual é o ponto K(xk; yk) que será o ponto simétrico ao ponto N(1; 2) em relação à reta "r".

Note que a distância entre o ponto K(xk; yk) à reta "r" deverá ser a mesma entre o ponto N(1; 2) também à reta "r".
Note outra coisa: se a distância deverá ser a mesma, então o ponto de intersecção entre as duas retas M(2; 1) será o ponto médio do segmento que vai de N(1; 2) a K(xk; yk).
Assim, poderemos, sem nenhuma dificuldade, encontrar quais são as coordenadas do ponto K. Para isso, faremos:

2 = (1+xk)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*2 = 1+xk
4 = 1 + xk ---- passando "1" para o 1º membro, teremos:
4 - 1 = xk
3 = xk ----- ou, invertendo-se:
xk = 3 <---Esta é a abscissa do ponto K(xk; yk), que é simétrico ao ponto N(1; 2) em relação à reta "r". 

1 = (2 + yk)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos: 
2*1 = 2 + yk
2 = 2 + yk ---- passando "2" do 2º para o 1º membro, teremos;
2 - 2 = yk
0 = yk --- ou, invertendo-se:
yk = 0 <--- Esta é a ordenada do ponto K(xk; yk), que é simétrico ao ponto N(1; 2) em relação à reta "r".

ii.4) Assim, resumindo, teremos que o ponto que é simétrico ao ponto N(1; 2) em relação à reta "r" é o ponto "K", cujas coordenadas são:

(3; 0) <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.