Question

Seja r a reta que passa pelos pontos (1, 2) e (-2, 5). A equação geral que passa por essa reta ė;
A) r: - x - y + 3 = 0
B) r: x + y + 3 = 0
C) r: -x + y + 3 = 0
D) r: x - y + 3 = 0
E) r: - x - y - 3 = 0




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Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral da referida reta é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: -x - y + 3 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos do plano cartesiano:

                       $\Large\begin{cases} A(1, 2)\\B(-2, 5)\end{cases}$

Para montarmos a equação geral da reta devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade":

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

Expandindo a equação "I", temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = \tan\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{P} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered} }$

Sabendo que o ponto "P" pode ser substituindo por qualquer ponto pertencente à reta, então vou substituir o ponto "P" pelo ponto "A" na equação "II".

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{A})\end{gathered} }$

Como estamos querendo encontrar a equação geral da reta que passa por esses pontos, então devemos passas todos os termos da equação "III" para o primeiro membro, deixando no segundo membro apenas o "0", isto é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x_{B} - x_{A})\cdot(y - y_{A}) =(y_{B} - y_{A})\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x_{B} - x_{A})\cdot(y - y_{A}) - (y_{B} - y_{A})\cdot(x - x_{A}) = 0\end{gathered}$

Substituindo as coordenadas dos pontos nesta última equação, temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-2 - 1)\cdot(y - 2) - (5 - 2)\cdot(x - 1) = 0\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3\cdot(y - 2) - 3\cdot(x - 1) = 0\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3y + 6 - 3x + 3 = 0\end{gathered}$

                                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3y - 3x + 9 = 0\end{gathered}$

                                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y - x + 3 = 0\end{gathered}$

                                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - y + 3 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral da reta é:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: -x - y + 3 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$