Question

Seja pi¹  , plano que passa pelos pontos A(1,1,1); B(1,0,1) , C (1,1,0) e  pi² o plano que passa pelos pontos P ( 0,0,1) e Q (0,0,0) e é paralelo ao vetor i+j. Ache o ângulo entre pi¹ e pi² 

Answer 1

Seja pi¹  , plano que passa pelos pontos A(1,1,1); B(1,0,1) , C (1,1,0)

então AB e AC são vetores pertencentes ao plano
$AB=B-A\\\\ \boxed{AB=(0,-1,0)}\\\\\\AC=C-A\\\\ \boxed{AC=(0,0,-1)}$

fazendo o produto vetorial deste dois vetores vc vai encontrar
$(-j) X(-k)=+i$
vai encontrar o vetor normal ao plano $N_p_^1=(1,0,0)$

como voce só quer encontrar o angulo entre os planos só irá precisar do vetor normal. 

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 pi² o plano que passa pelos pontos P ( 0,0,1) e Q (0,0,0) e é paralelo ao vetor i+j.

passa pelo ponto PQ 
$PQ=Q-P\\\\PQ=(0,0,-1)$

o plano é paralelo ao vetor i+j
$i=(1,0,0)\\j=(0,1,0)\\\\i+j=(1,1,0)$

se o vetor i+j é paralelo ao plano..então ele tambem é paralelo ao ponto PQ
ao fazer o produto vetorial de PQ e i+j encontraremos o vetor normal

$(-k)X(i,j)=(-j);(+i)=(1,-1,0)=N_p_^2$
esse é o vetor normal ao plano 2
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Ache o ângulo entre pi¹ e pi² 

o angulo entre os dois planos é o angulo entre o vetor normal do plano p1 e p2

$cos( \alpha )= \frac{(N{_p_^1})*(N{_p_^2})}{||(N{_p_^1}||*||N{_p_^2}||}$

$N{_p_^1}=(1,0,0)$ $||N{_p_^1}||=1$

$N_p_^2=(1,-1,0)$ $||N_p_^2||= \sqrt{2}$

o produto escalar entre os dois é
$(1,0,0)*(1,-1,0)=1$

agora calculando o angulo entre os vetores
$cos( \alpha )= \frac{1}{1* \sqrt{2} } \\\\( \alpha )=arcos \frac{1}{ \sqrt{2} } \\\\( \alpha )=45$

o angulo entre os dois planos é de 45°