Question

Seja p(x) um polinômio de grau 3 que admite as raízes x=1 e x=1-i. Qual a expressão desse polinomio?

Answer 1

Ola Ajpaulino

como x2 = 1 - i temos x3 = 1 + i

x1 = 1
x2 = 1 - i
x3 = 1 + i 

p(x) = (x - 1)*(x - 1 + i)*(x - 1 - i) = x³ - 3x² + 4x - 2

Answer 2

O problema dar duas das três raízes, haja vista que o polinômio é do terceiro grau. A terceira raiz é fácil de encontrar, como uma das raízes é complexa, logo o polinômio deve ter outra raiz complexa, que é na verdade o conjugado da raiz dada. Sendo assim, temos: Raiz 1 = 1 Raiz 2 = 1 - i Raiz 3 = 1 + i (conjugado) Agora que temos as três raízes do polinômio, para encontrarmos o termo geral polinômio temos que multiplicar as diferenças de x e as respectivas raízes do polinômio, isto é: P(x) = (x - raiz 1)(x - raiz 2)(x - raiz 3) Agora substituindo as raízes na expressão acima, e considerando que i ^2 = -1, temos:
P(x) = (x-1)(x-(1-i))(x-(1+i)) ∴
P(x) = (x-1)(x-1+i)(x-1-i) ∴
P(x) = (x^2 -x +xi - x + 1 + i)(x-1-i) ∴
P(x) = x³ - 3x² + 4x -2