Question

Seja o triângulo formados pelos pontos A (0, 0), B (4, 0) e C(0, 3) e M o ponto médio da hipotenusa , prove analiticamente, que o ponto M é equidistante dos três vértices do triangulo.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como $\sf M$ é ponto médio de $\sf \overline{BC}$, temos que:

• $\sf x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{4+0}{2}$

$\sf x_M=\dfrac{4}{2}$

$\sf x_M=2$

• $\sf y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{0+3}{2}$

$\sf y_M=\dfrac{3}{2}$

Assim:

• $\sf \overline{AM}=\sqrt{(2-0)^2+\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2}$

$\sf \overline{AM}=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}$

$\sf \overline{AM}=\sqrt{4+\dfrac{9}{4}}$

$\sf \overline{AM}=\sqrt{\dfrac{16+9}{4}}$

$\sf \overline{AM}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$

$\sf \overline{AM}=\dfrac{5}{2}$

• $\sf \overline{BM}=\sqrt{(2-4)^2+\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2}$

$\sf \overline{BM}=\sqrt{(-2)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}$

$\sf \overline{BM}=\sqrt{4+\dfrac{9}{4}}$

$\sf \overline{BM}=\sqrt{\dfrac{16+9}{4}}$

$\sf \overline{BM}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$

$\sf \overline{BM}=\dfrac{5}{2}$

• $\sf \overline{CM}=\sqrt{(2-0)^2+\left(\dfrac{3}{2}-3\right)^2}$

$\sf \overline{CM}=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2}$

$\sf \overline{CM}=\sqrt{4+\dfrac{9}{4}}$

$\sf \overline{CM}=\sqrt{\dfrac{16+9}{4}}$

$\sf \overline{CM}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$

$\sf \overline{CM}=\dfrac{5}{2}$

Como $\sf \overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CM}$, então o ponto $\sf M$ é equidistante dos três vértices do triângulo