Question

Seja o operador linear T: , T(x,y) = (x+y,2x-y) e o vetor u = (2,1):
a) O vetor u pertence a N(T)?
b) O vetor u pertence a Im(T)?

Answer 1

Usando das aplicações de núcleo e imagem, podemos verificar que o vetor dado está na imagem, mas não no espaço nulo.

Seja uma transformação linear $T(u)$ qualquer.

Núcleo

O núcleo (também conhecido como espaço nulo) da transformação linear é dado pelo conjunto de todos os vetores $v=\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ tais que $T(v)=0$

Podemos encontrar o núcleo da transformação calculando

$T(x, y) =\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}$

No caso de $T(x, y) =(x+y, 2x-y)$ teremos que

$T(x, y) =\begin{pmatrix} 1&1\\2&-1\end{pmatrix}$

E então

$\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

E assim, basta resolver o sistema linear:

$\begin{pmatrix}x&+y&=0\\2x&-y&=0\end{pmatrix}$

Isto resulta que $y=-x$ e $y=2x$ o que só é verdade quando $x=y=0$

Portanto u não pertence ao nucleo

Imagem

A imagem de uma transformação $T(x, y)$ é o vetor $b$ tal que $T(x, y) =b$

Vale notar que a imagem pode conter o núcleo.

Seja então a matriz da transformação

$T(x, y) =\begin{pmatrix} 1&1\\2&-1\end{pmatrix}$

Queremos saber se existe $(x, y)$ tal que $T(x, y) =\begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$

$T(x, y) =u$ se

$\begin{pmatrix} 1&1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$

$x\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$

Entao basta resolver o sistema linear

$\begin{Bmatrix} x&+y&=2\\2x&-y&=1\end{matrix}$

Encontramos assim que $T(1,1)=(2,1)$ Logo, u pertence a imagem de $T$