Question

Seja o número XYZ, no qual X é o algarismo das centenas, Y das dezenas, Z das unidades. Invertendo-se a ordem dos algarismo obtém-se ZYX, que excede XYZ em 198 unidades. Se a soma dos três algarismo é 15 e o produto dos extremos é 8, então o número XYZ está compreendido entre

a) 250 a 300
b)300 a 350
c)400 a 450
d)500 a 550
e) 550 a 600

Answer 1

Em notação decimal o número $\text{XYZ}$ vale $100\text{X}+10\text{Y}+\text{Z}$.

Analogamente, temos que $\text{ZYX}=100\text{Z}+10\text{Y}+\text{X}$. E pelo enunciado $\text{ZYX}-\text{XYZ}=198$

Logo:

$100\text{Z}+10\text{Y}+\text{X}-100\text{X}-10\text{Y}-\text{Z}=198$

$99\text{Z}-99\text{X}=198$

Dividindo os dois lados dessa equação por $99$, obtemos:

$\dfrac{99\text{Z}}{99}-\dfrac{99\text{X}}{99}=\dfrac{198}{99}$

$\text{Z}-\text{X}=2$

Isto é, $\text{Z}=\text{X}+2$

Segundo o enunciado, o produto $\text{X}\cdot \text{Z}$ é igual a $8$. Como $\text{X}$ e $\text{Z}$ são algarismos, as únicas possibilidades são $(\text{X},\text{Z})=(2,4),(4,2),(8,1),(1,8)$

Mas, como $\text{Z}=\text{X}+2$ e $\text{ZYX}>\text{XYZ}$, temos $\text{X}=2$ e $\text{Z}=4$

Além disso, a soma dos três algarismos é $15$. Assim:

$\text{X}+\text{Y}+\text{Z}=15~\hookrightarrow~2+\text{Y}+4=15$

$\text{Y}+6=15~\hookrightarrow~\text{Y}=15-6~\hookrightarrow\boxed{\text{Y}=9}$

Logo, $\text{XYZ}=294$

$\text{Alternativa A}$