Question

Seja o número complexo j= - 1 /2 + (√3/2)i. Calcule: a) j²  b) 1 + j + j² c) j ³ d) 1 / j

Answer 1

 
             1          √3
j² = ( - ------- + ------- i)²
             2           2

         1                1            √3           √3
j² = ( ---)² + 2.( - ------- ).(------- i) + ( ---- i)²
         2                2             2              2

         1       2√3          3
j² = ------ - ------- i + ------- i²
         4        4             4

        1       2√3          3
j² = ----- - ------- i + ------- . ( -1)
        4        4             4

        1       2√3         3
j² = ----- - ------- i - -------
         4       4            4

          2      2√3
j² = - ---- - ------- i
          4       4

           1       √3
j² = - ------ - ------ i
           2        2
------------------------------------------------------------------------
                              1          √3                 1          √3
1 + j + j² = 1 + (- ------- + -------- i) + ( -  ------- - ------- i )
                             2           2                   2          2

                         1       √3         1         √3      
1 + j + j² = 1  - ---- + ------ i - ------ - ------- i
                         2        2          2          2
                                        
                         2   
1 + j + j² = 1 - ------
                         2 
1 + j + j² = 1 - 1
1 + j +j² = 0
--------------------------------------------------------------------------------

j³ = j² . j

            1       √3            1          √3
j³ = ( - ----- - ------ i).(- -------- + ------ i)
            2        2             2           2

        1        √3        √3       √9
j³ = ----- - ------ + ------- i - ------- i²
        4        4          4           4

         1       √3       √3           3
j³ = ------ - ----- + ------- i - -------- .(-1)
         4       4         4            4

         1         √3        √3         3
j³ = ------- - ------- + ----- i + -------
         4         4          4           4

         4  - √3        √3     
j³ = ------------  + ------- i
             4             4
----------------------------------------------------------------------------------------

                   1           1        √3                            1        √3              
                  ---  . (- ------- + ------ i )                   - ----- + ------  i                           
  1               1           2          2                             2          2                                                                
----- = ---------------------------------------------- = ----------------------- =
  j              1        √3             1          √3              1         3
            (- ------ + ------ i). (- ------ - -------- i)       ----- - ------- i² 
                 2         2             2           2                4        4

     -1+ √3 i          - 1 +√3 i         - 1 + √3 i
     ----------          ------------       --------------
         2                      2                    2
    -------------- = -------------- = ----------------- = - 1 + √3 i
      1      3              4                      1
     --- + ----         -------
      4      4              4