Question

Seja n um valor inteiro positivo. Prove que (n + 1)² − 1 é par, se e somente se, n é par.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos provar por indução finita

Sendo n E {2, 4, 6, 8, ...}, logo

Para n = 2 => (2 + 1)² - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8, verdade

Para n = p, com p E {2, 4, 6, 8, ...}, vem que

(p + 1)² - 1 também é verdade

Agora provamos que a relação também é verdadeira para n = 2p, então

(2p + 1)² - 1 = (4p² + 4p + 1) - 1 = 4p² + 4p

Como 4p² + 4p sempre será par, logo está demonstrado que (n + 1)² - 1 é par para todo n par

Answer 2

Ida: Se $(n+1)^2-1$ é par, então n é par

$(n+1)^2-1=n^2+2n+1-1=n^2+2n$ da hipótese temos que essa expressão tem que ser par, já temos que 2n é par, logo $n^2$ tem que ser par pois par+par=par, Portanto $n^2$ é par e por sua vez n é par

Volta: Se n é par, então $(n+1)^2-1$ é par

Bom, se n é par ele é da forma 2k, para algum k inteiro, substituindo isso na expressão temos:

$(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=2(2k^2+2k)$

Fazendo $2k^2+2k=q$

$2(2k^2+2k)=2q$, logo $(n+1)^2-1=2q$, Portanto $(n+1)^2-1$ é par