Question

Seja n um número natural tal que os números 1671, 1985 e 3084 deixam o mesmo resto quando divididos por n. Nessas condições, determine o maior valor possível para n.

Answer 1

1671 = x.n + r
1985 = y.n + r
3084 = z.n + r

r = 1671 - xn = 1985 - yn = 3084 - zn

1985 - yn = (1671 - xn) = 314 - yn + xn = 314 + (xn - yn) = 314 + (x-y)*n
3084 - zn = (1671 - xn) = 1413 - zn + xn = 1413 + (xn - zn) = 1413 + (x-z)*n
3084 - zn = (1985 - yn) = 1099 - zn + yn = 1099 + (yn - zn) = 1099 + (y-z)*n

MDC(314,1413,1099) = 157 ← máximo valor de n

Verificação:
1671/157 = _1*157 + 101
1985/157 = 12*157 + 101
3084/157 = 19*157 + 101