Question

Seja N um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois algarismos, obtem-se um novo número natural M de modo que N - M = 63. A soma de todos os números naturais N que satisfazem as condições dadas é (A) 156 / (B) 164 / (C) 173 / (D) 187 / (E) 198

Eu não consigo entender como é feito o cálculo. Se tem alguma regra específica para esse tipo de questão ou se é por dedução...

Answer 1

N e M podem ser escritos na forma de somas de base 10, daí é possível escrever um sistema de equações que satisfaça N-M.
$\begin{cases} p\times10 + q = N\\ q\times 10 + p = M \end{cases}$

Como sabemos que N - M = 63
$p\times10 + q - (q\times10 + p) = 63\\ 9p-9q=63\\ 9(p-q)=63\\ p-q = 7$

Para os possíveis valores dessa equação sabendo que p e q são números de 1 algarísmo podemos observar
$\begin{cases} p \ \textgreater \ q\\ p \ \textgreater \ 7 \end{cases}\text{pois}$

$7 = 1\times7+0\\ 7 = 2\times3+1\\ 7 = 3\times2+1\\ 7 = 4\times1+3\\ 7 = 5\times1+2\\ 7 = 6\times1+1\\ 7 = 7\times1+0\\ \begin{cases} 7 = 8\times1-1\\ 7 = 9\times1-2 \end{cases}\text{na forma p - q}$

Então
$\begin{cases} p_1 = 8, q_1 = 1\quad\quad\to 81\\ p_2 = 9, q_2 = 2\quad\quad\to92 \end$

A soma de todos os números naturais N
$S_n = 81+92\\ \boxed{S_n = 173}$

Resposta C