Question

Seja N={0,1,2,…} o conjunto dos números naturais e considere a função f:N→N
tal que f(0)=1,f(1)=33 e, para todo natural n≥1 satisfaz as seguintes condições:

f(2n)=2f(n)+1

f(2n+1)=2f(n)

Então f(30)

é igual a

Answer 1

Resposta:

529

Explicação passo a passo:

A ideia é simplificar $f(30)$ usando as relações e achar seu valor com os valores que já são conhecidos.

Se inspirando na relação $f(2n) = 2f(n) + 1$, temos:

$f(30) = f(2*15)\\\\ f(2*15) = 2f(15) + 1$

Agora o problema é achar $f(15)$. Pela relação $f(2n+1) = 2f(n)$, temos:

$2a + 1 = 15\\2a = 14\\a = 7$

$f(15) = f(2*7 + 1)\\\\f(2*7 + 1) = 2f(7)$

Para achar $f(7)$, usaremos a mesma relação $f(2n+1) = 2f(n)$:

$2b + 1 = 7\\2b = 6\\b = 3$

$f(7) = f(2*3+1)\\\\f(2*3+1) = 2f(3)$

Para $f(3)$ :

$2c + 1 = 3\\2c = 2\\c = 1$

$f(3) = f(2*1+1)\\\\f(2*1+1) = 2f(1)$

Sabemos que $f(1) = 33$, é possível descobrir $f(30)$ usando o que descobrimos anteriormente:

$f(3) = 2f(1) = 2*33 = 66$

$f(7) = 2f(3) = 2* 66 = 132$

$f(15) = 2f(7) = 2*132 = 264$

$f(30) = 2f(15) + 1 = 2*264 + 1 = 529$