Question

Seja K o número de termo que devem ser interpolados entre os números -6 e 96, para que sequencia formada constitua uma progressão aritmética de razão 6, o número K é :

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luciane, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "k", sabendo-se que "k" é o número de termos a ser interpolado entre "-6" e "96", numa sequência que constitua uma progressão aritmética (PA).
Note que a interpolação de termos entre dois extremos de uma PA consiste em, primeiro, saber-se a razão. Mas como a razão (r) já foi dada e que é igual a "6', então vamos trabalhar com ela para fazer a interpolação devida entre "--6" e "96".
Note que poderemos chegar no número "k", bastando, para isso, aplicarmos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "96", pois queremos saber qual é o número de termos (n) dessa PA, em função do último termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "-6", que é o valor do primeiro termo. E, finalmente, substituiremos "r'' por "6", que é valor da razão.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

96 = -6 + (n-1)*6 ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
96 = - 6 + 6*n - 6*1
96 = - 6 + 6n - 6 ----- ordenando o 2º membro, teremos:
96 = -6 - 6 + 6n --- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, temos:
96 = -12 + 6n ---- passando "-12" para o 1º membro, teremos:
96 + 12 = 6n
108 = 6n ---- vamos apenas inverter, ficando:
6n = 108
n = 108/6
n = 18 <--- Este é o número total de termos da PA.

Como queremos interpolar "k" termos entre "-6" e "96", então "k" deverá ser igual a 18 menos os dois extremos ("-6" e "96"). Assim, teremos:

k = 18 - 2
k = 16 <--- Esta é a resposta. Opção "d" (quadrado perfeito), pois "16"  é um quadrado perfeito pois tem raiz quadrada exata. Este deverá ser o valor de "k", que é a quantidade de termos que deveremos interpolar entre os extremos "-6" e "96".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual será essa PA com os seus 18 termos (os dois extremos MAIS os 16 interpolados).
Como já temos o primeiro termo (-6) e temos a razão (6), então vamos encontrar os demais termos a partir deles. Assim, teremos;

a₁ = - 6
a₂ = -6+6 = 0
a₃ = 0+6 = 6
a₄ = 6+6 = 12
a₅ = 12+6 = 18
a₆ = 18+6 = 24
a₇ = 24+6 = 30
a₈ = 30+6 = 36
a₉ = 36+6 = 42
a₁₀ = 42+6 = 48
a₁₁ = 48+6 = 54
a₁₂ = 54+6 = 60
a₁₃ = 60+6 = 66
a₁₄ = 66+6 = 72
a₁₅ = 72+6 = 78
a₁₆ = 78+6 = 84
a₁₇ = 84+6 = 90
a₁₈ = 90+6 = 96

Assim, a PA, com todos os seus 18 termos é a que se escreve abaixo, com os seus 16 termos interpolados marcados com uma seta. Veja:

-6; 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96
. . . ↑. .↑. ↑.. .↑. . ↑. ↑. . ↑. . ↑. . ↑. . ↑. ...↑. .  ↑. ..↑ ... ↑. . .↑. . .↑. . . . . .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

a1 = -6
an = 96
r = 6

a1 = -6
a2 = -6 + 6 = 0
a3 = 0 + 6 = 6
a4 = 6 + 6 = 12
a5 = 12 + 6 = 18
a6 = 18 + 6 = 24
a7 = 24 + 6 = 30
a8 = 30 + 6 = 36
a9 = 36 + 6 = 42
a10 = 42 + 6 = 48
a11 = 48 + 6 = 54
a18 = 

ak = 96
a1 + (k-1)r = 96
-6 + ( k - 1)6 = 96
-6 + 6k - 6 = 96
6k - 12 = 96
6k=  96 + 12
6k = 108
k ou   n  = 108/6 = 18 *****
n = 18 termos  considerando  a1 e an ou a18
os termos interpolados  serão 18 - 2 = 16 ***** logo k = 16  ******

a18 = -6 + 17 * 6 = -6 + 102 =96  confere **