Matemática, perguntado por viniciuswebster2014, 7 meses atrás

Seja g(x) = \left \{ {{x+1,} \ se \ x \ \  \textless \  \ 1\atop {-x+3,}\ se \ x \ \geq \ 1 } \right.

a) Esboce o gráfico de g

b) g é derivável em p = 1? Por quê?


Nefertitii: ali na primeira função de g(x)
Nefertitii: o sinal bugou
Nefertitii: qual seria o sinal (<, >, ≤ ou ≥)?
viniciuswebster2014: na primeira linha seria x menor que um, e na segunda linha seria x maior e igual a 1
Nefertitii: Ah sim, ok

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte função:

g(x) = \begin{cases}x+1,\: se   \: x &lt;  1  \\ {-x+3}, \: se  \: x  \:   \geq  1  \end{cases}

A partir dessa função, a questão pede para montarmos um gráfico e também justificar se a função é derivável em p = 1. Para provar se é ou não derivável, devemos analisar as derivadas laterais, caso elas sejam iguais função é derivável no dado ponto. A relação das derivadas laterais é dada pela seguinte relação:

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \ \:  \: \bullet \:  \:  \:  g_{+}'(p)=g_{-}'(p) \bullet \:  \:  \\ g_{+}'(p)\lim_{\Delta p\to 0^+}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}=g_{-}'(p)\lim_{\Delta p\to 0^-}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}

Primeiro vamos iniciar calculando as correspondentes das funções f(∆p + p), ou seja, devemos substituir onde tiver "p" por ∆p + p.

  • Primeira função:

A primeira função é quando o limite da derivada tende a valores a direita de "0", ou seja, valores maiores que "0", mas note que temos ∆p tendendo a 0+ sendo somado a "p" que possui um valor igual a 1, ou seja, esse valor será maior que 1, pois temos uma coisa maior que "0" somada com 1. Partindo dessa ideia, devemos agora olhar para a função e ver qual delas corresponde a um valor maior que 1 ( > 1), certamente você já de concordar comigo que a função é -x + 3, então usaremos essa para encontrar a correspondente de ∆p + p:

g(x) =  - x + 3 \longrightarrow g( \Delta p + p) =  - (\Delta p + p) + 3 \\  \\ \boxed{ g(\Delta p + p) =  - \Delta p - p + 3}

  • Segunda função:

Essa função segue a mesma lógica, só que agora o ∆p tende a valores a esquerda de "0", ou seja, valores menores que "0", que somado com o valor de "p", faz com que o resultado seja um valor menor que 1, logo a função será x + 1:

g(x) = x + 1 \longrightarrow g(\Delta p + p) =x + 1 \\  \\  \boxed{g(\Delta p + p) = \Delta p + p + 1}

  • Valor da função no dado ponto:

Por fim tem-se que calcular o valor da função quando x = 1, ou seja, vamos usar a segunda relação de novo, já que ela contém o sinal de igual também, então:

g(x )=  - x + 3 \longrightarrow g(1) =  - 1 + 3 \\  \\ \boxed{ g(1) = 2}

Agora vamos substituir essas duas funções obtidas e o valor da função no dado ponto, dentro da relação das derivada laterais:

\lim_{\Delta p\to 0^+}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}=\lim_{\Delta p\to 0^-}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p} \\  \\  \lim_{\Delta p\to 0^+} \frac{- \Delta p - p + 3 - 2}{\Delta p}  = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + p + 1  - 2}{  \Delta p  }  \:  \:  \:  \\  \\ \lim_{\Delta p\to 0^+}  \frac{- \Delta p - p  + 1}{\Delta p}  = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + p  -  1}{\Delta p}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Como eu havia dito, o valor de "p" é 1, então:

\lim_{\Delta p\to 0^+} \frac{- \Delta p - 1 + 1}{\Delta p}  = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + 1 - 1}{\Delta p}  \\  \\  \lim_{\Delta p\to 0^+}  - \frac{\Delta p}{\Delta p} = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p }{\Delta p}  \\  \\ \lim_{\Delta p\to 0^+} - 1 = \lim_{\Delta p\to 0^ - }1 \\  \\  \boxed{\boxed{ - 1  \neq 1}}

Portanto podemos concluir que ela não é derivável em p = 1. Esboçando o gráfico (estará anexado na resposta desta questão).

Anexos:

viniciuswebster2014: Muito obrigado por ter cedido um pouco do seu tempo para responder minha pergunta, voce ajudou demaaaaaaaais. Valeu, sucesso pra vc
Nefertitii: Por nadaaaa
Nefertitii: (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
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