Seja g(x) =
a) Esboce o gráfico de g
b) g é derivável em p = 1? Por quê?
Soluções para a tarefa
Temos a seguinte função:
A partir dessa função, a questão pede para montarmos um gráfico e também justificar se a função é derivável em p = 1. Para provar se é ou não derivável, devemos analisar as derivadas laterais, caso elas sejam iguais função é derivável no dado ponto. A relação das derivadas laterais é dada pela seguinte relação:
Primeiro vamos iniciar calculando as correspondentes das funções f(∆p + p), ou seja, devemos substituir onde tiver "p" por ∆p + p.
- Primeira função:
A primeira função é quando o limite da derivada tende a valores a direita de "0", ou seja, valores maiores que "0", mas note que temos ∆p tendendo a 0+ sendo somado a "p" que possui um valor igual a 1, ou seja, esse valor será maior que 1, pois temos uma coisa maior que "0" somada com 1. Partindo dessa ideia, devemos agora olhar para a função e ver qual delas corresponde a um valor maior que 1 ( > 1), certamente você já de concordar comigo que a função é -x + 3, então usaremos essa para encontrar a correspondente de ∆p + p:
- Segunda função:
Essa função segue a mesma lógica, só que agora o ∆p tende a valores a esquerda de "0", ou seja, valores menores que "0", que somado com o valor de "p", faz com que o resultado seja um valor menor que 1, logo a função será x + 1:
- Valor da função no dado ponto:
Por fim tem-se que calcular o valor da função quando x = 1, ou seja, vamos usar a segunda relação de novo, já que ela contém o sinal de igual também, então:
Agora vamos substituir essas duas funções obtidas e o valor da função no dado ponto, dentro da relação das derivada laterais:
Como eu havia dito, o valor de "p" é 1, então:
Portanto podemos concluir que ela não é derivável em p = 1. Esboçando o gráfico (estará anexado na resposta desta questão).