Question

Seja g(x) = $\left \{ {{x+1,} \ se \ x \ \ \textless \ \ 1\atop {-x+3,}\ se \ x \ \geq \ 1 } \right.$

a) Esboce o gráfico de g

b) g é derivável em p = 1? Por quê?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$g(x) = \begin{cases}x+1,\: se \: x < 1 \\ {-x+3}, \: se \: x \: \geq 1 \end{cases}$

A partir dessa função, a questão pede para montarmos um gráfico e também justificar se a função é derivável em p = 1. Para provar se é ou não derivável, devemos analisar as derivadas laterais, caso elas sejam iguais função é derivável no dado ponto. A relação das derivadas laterais é dada pela seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \: \bullet \: \: \: g_{+}'(p)=g_{-}'(p) \bullet \: \: \\ g_{+}'(p)\lim_{\Delta p\to 0^+}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}=g_{-}'(p)\lim_{\Delta p\to 0^-}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}$

Primeiro vamos iniciar calculando as correspondentes das funções f(∆p + p), ou seja, devemos substituir onde tiver "p" por ∆p + p.

• Primeira função:

A primeira função é quando o limite da derivada tende a valores a direita de "0", ou seja, valores maiores que "0", mas note que temos ∆p tendendo a 0+ sendo somado a "p" que possui um valor igual a 1, ou seja, esse valor será maior que 1, pois temos uma coisa maior que "0" somada com 1. Partindo dessa ideia, devemos agora olhar para a função e ver qual delas corresponde a um valor maior que 1 ( > 1), certamente você já de concordar comigo que a função é -x + 3, então usaremos essa para encontrar a correspondente de ∆p + p:

$g(x) = - x + 3 \longrightarrow g( \Delta p + p) = - (\Delta p + p) + 3 \\ \\ \boxed{ g(\Delta p + p) = - \Delta p - p + 3}$

• Segunda função:

Essa função segue a mesma lógica, só que agora o ∆p tende a valores a esquerda de "0", ou seja, valores menores que "0", que somado com o valor de "p", faz com que o resultado seja um valor menor que 1, logo a função será x + 1:

$g(x) = x + 1 \longrightarrow g(\Delta p + p) =x + 1 \\ \\ \boxed{g(\Delta p + p) = \Delta p + p + 1}$

• Valor da função no dado ponto:

Por fim tem-se que calcular o valor da função quando x = 1, ou seja, vamos usar a segunda relação de novo, já que ela contém o sinal de igual também, então:

$g(x )= - x + 3 \longrightarrow g(1) = - 1 + 3 \\ \\ \boxed{ g(1) = 2}$

Agora vamos substituir essas duas funções obtidas e o valor da função no dado ponto, dentro da relação das derivada laterais:

$\lim_{\Delta p\to 0^+}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p}=\lim_{\Delta p\to 0^-}\frac{g(\Delta p + p) - g(p)}{\Delta p} \\ \\ \lim_{\Delta p\to 0^+} \frac{- \Delta p - p + 3 - 2}{\Delta p} = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + p + 1 - 2}{ \Delta p } \: \: \: \\ \\ \lim_{\Delta p\to 0^+} \frac{- \Delta p - p + 1}{\Delta p} = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + p - 1}{\Delta p} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como eu havia dito, o valor de "p" é 1, então:

$\lim_{\Delta p\to 0^+} \frac{- \Delta p - 1 + 1}{\Delta p} = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p + 1 - 1}{\Delta p} \\ \\ \lim_{\Delta p\to 0^+} - \frac{\Delta p}{\Delta p} = \lim_{\Delta p\to 0^ - } \frac{ \Delta p }{\Delta p} \\ \\ \lim_{\Delta p\to 0^+} - 1 = \lim_{\Delta p\to 0^ - }1 \\ \\ \boxed{\boxed{ - 1 \neq 1}}$

Portanto podemos concluir que ela não é derivável em p = 1. Esboçando o gráfico (estará anexado na resposta desta questão).