Matemática, perguntado por disilene26, 7 meses atrás

Determine o valor de y para que os pontos A(12 , 4), B(1 , -3) e C(-4 , y) estejam alinhados.

(OBS: Dê resultado exclusivamente numérico. Ex.: 3 ou -10)

Soluções para a tarefa

Respondido por PhillDays
2

\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y}~\pink{=}~\blue{ 6,\overline{18} }~~~}}

\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}

☺lá novamente, Disilene. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

☔ A verificação da condição de linearidade de 3 pontos é feita através da Determinante da matriz

\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm C_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}\rm x_a&\rm y_a&1\\\\\rm x_b&\rm y_b&1\\\\\rm x_c&\rm y_c&1\\\end{array}\right]}&\\&&\\\end{array}}}}}

➡ Det = 0 : Os pontos são colineares;

➡ Det ≠ 0 : Os pontos não são colineares;

\sf\LARGE\blue{M_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}12&4&1\\1&-3&1\\-4&y&1\\\end{array}\right]}

☔ Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz \sf A_{3x3} devemos adicionar uma cópia das duas primeiras colunas à direita da matriz de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no primeiro termo da primeira linha, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no último termo da primeira linha das colunas repetidas.

☔ Começaremos escrevendo nossas 2 colunas a mais à direita.

\sf\LARGE\blue{M_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc|cc}12&4&1&12&4\\1&-3&1&1&-3\\-4&y&1&-4&y\\\end{array}\right]}

☔ Vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}12&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.\\.&.&1&.&.\\\end{array}\right]}

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + }

☔ Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser somada.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&4&.&.&.\\.&.&1&.&.\\.&.&.&-4&.\\\end{array}\right]}

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + }

☔ Esta será nossa terceira diagonal multiplicada a ser somada.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&1&.&.\\.&.&.&1&.\\.&.&.&.&y\\\end{array}\right]}

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - }

☔ Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser subtraída.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&.&.&4\\.&.&.&1&.\\.&.&1&.&.\\\end{array}\right]}

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1}

☔ Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser subtraída.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&.&12&.\\.&.&1&.&.\\.&y&.&.&.\\\end{array}\right]}

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot 1 \cdot y}

☔ Esta será nossa última diagonal multiplicada a ser subtraída.

\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&1&.&.\\.&-3&.&.&.\\-4&.&.&.&.\\\end{array}\right]}

☔ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot 1 \cdot y - 1 \cdot (-3) \cdot (-4)}

\Large\blue{\text{$\sf = -36 - 16 + y - 4 - 12y - 12 $}}

\Large\blue{\text{$\sf = -11y - 68 $}}

☔ Para que os pontos A, B e C estejam alinhados a Determinante de M deve ser igual à zero, ou seja

\LARGE\blue{\text{$\sf -11y - 68 = 0 $}}

\LARGE\blue{\text{$\sf -11y = 68 $}}

\LARGE\blue{\text{$\sf y = \dfrac{-68}{11} $}}

\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y}~\pink{=}~\blue{ 6,\overline{18} }~~~}}

\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}

\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}

(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}) ☄

\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX

❄☃ \sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly}) ☘☀

\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}

Anexos:

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