Question

Seja f(x, y) = x² + 4y². Calcule a derivada direcional de f no ponto (1, 3) na
direção do vetor u = (2, 5).

Answer 1

Resposta:

$D_uf=\frac{124\sqrt{29}}{29}$

Explicação passo a passo:

Vamos inicialmente calcular o gradiente da função. Temos que:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\iff \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=2$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=8y\iff \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=24$

Daí tiramos que $\nabla f=(2,24)$. Como $u$ não é unitário, dividimos ele por seu módulo, obtendo seu versor:

$u_0=\frac{u}{||u||}=\frac{(2,5)}{\sqrt{29}}=\left(\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$

Concluindo assim que:

$D_uf=\nabla f\cdot u_0$

$D_uf=(2,24)\cdot\left(\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$

$D_uf=\frac{4\sqrt{29}}{29}+\frac{120\sqrt{29}}{29}$

$D_uf=\frac{124\sqrt{29}}{29}$