Question

Seja f(x) = x3+x2-5x-5, determine:
a) Os pontos críticos da função f(x).

b) os pontos de máximo e mínimo de f(x) se existirem.

c) Os pontos de inflexão.

Answer 1

a) O ponto crítico de uma função é ponto x=c onde f'(c)=0
Usando a regra da potencia, temos que f'(x)=3x²+2x-5, logo:
f'(c)=3c²+2c-5
3c²+2c-5=0
Resolvendo a equação de segundo grau:
Δ=4-4·3(-5)=  64

c=(-b+√Δ)/2a =(-2+8)/6 = 1
c=(-b-√Δ)/2a = (-2-8)/6 = -5/3

Logo, os pontos críticos são x=1 e x=-5/3.

b) f(x) é contínua por ser polinomial, logo, f'(x) também é contínua.
Sabemos que f(x) possui pontos críticos em 1 e -5/3.

Se f''(c)<0, então x=c é um ponto máximo para f(x)
Se f''(c)>0, então x=c é um ponto mínimo para f(x)

Vamos calcular f''(c)
f'(c)=3c²+2c-5. Usando a regra da potencia.
f''(c)=6c+2

c=1 ⇒f''(c)=8
c=-5/3 ⇒ f''(c)=-8

Assim, c=1 é ponto mínimo, e c=-5/3 é ponto máximo.

c) O ponto de inflexão é dado quando f''(x)=0
f''(x)=6x+2
6x+2=0
x=-1/3

Vamos calcular a derivada terceira,
f'''(x)=6
Como a terceira derivada é diferente de zero, então o possível ponto de inflexão, de fato o é.

Substituindo x=-1/3 em f''(x), encontramos, o par ordenado (-1/3, 0), ponto de inflexão de f(x)