Question

Seja f(x) = x² com 0≤ x ≤ 2 Determine o volume do solido gerado pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo y

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume do sólido de revolução obtido pelo giro da referida função polinomial sobre o eixo das ordenadas no referido intervalo é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V_{s} = 8\pi\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = x^{2},\:\:\:0\leq x \leq 2\end{gathered}$  

Portanto o intervalo de integração é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = [0, 2]\end{gathered}$

Se o sólido de revolução é gerado pelo giro de uma função polinomial sobre o eixo das ordenada, então, para calcular seu volume devemos utilizar o método dos discos. Neste caso, devemos desenvolver os seguintes cálculos:            

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{s} = \int_{0}^{2}\pi x^{2}dy\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{2}\pi x^{2}\cdot2x\,dx\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{2}2\pi x^{3}\,dx\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\pi \int_{0}^{2}x^{3}\,dx\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\pi \bigg(\frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\pi\bigg(\frac{x^{4}}{4}\bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[2\pi \cdot\bigg(\frac{2^{4}}{4}\bigg)\right] - \left[2\pi \cdot\bigg(\frac{0^{4}}{4}\bigg)\right]\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\pi\cdot\frac{16}{4}\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt =2\pi\cdot 4\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 8\pi\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume do sólido é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{s} = 8\pi\,u.\,v. \end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$