Question

seja f(x)=x^3+x+1, justifique a afirmação:f tem pelo menos uma raiz no intervalo ]-1,0].

Answer 1

Calculando f(-1) e f(0) encontramos os valores -1 e 1, respectivamente. Isso quer dizer que, em algum momento, ela passa pelo ponto f(x') = 0, onde esse x' é a raiz. Portanto -1 < x' < 0.

Isso é meio abstrato de se ver, até de se entender, mas fica mais simples quando se tem o gráfico da função. Seja f uma função e a e b dois valores quaisquer. Se f(a).f(b) < 0  temos pelo menos uma raiz no intervalo (a, b) (mais geral, um número ímpar de raízes). Isso acontece porque os sinais têm que ser diferentes para que aquele produto seja negativo, fazendo com que o gráfico da função corte o eixo x.

Ah, eis o gráfico da função pra se visualizar melhor o que disse: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x^3+%2B+x+%2B+1