Question

Seja f(x) uma função do 2º grau tal que f( 3) = 10 e cujo os seus zeros são: 1 e 2. Então o valor de f(11) é.
ALGUEM PODE AJUDAR!!!

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções quadráticas.

Seja $f(x)$ uma função do 2° grau tal que $f(3)=10$ e seus zeros são $1$ e $2$. Devemos calcular o valor de $f(11)$.

Primeiro, lembre-se que uma função quadrática de coeficientes reais tem a forma: $f(x)=ax^2+bx+c$, em que $a\neq0$.

Assim, utilizamos os dados do enunciado:

$f(3)=10\\\\\\ a\cdot 3^2+b\cdot3+c=10\\\\\ 9a+3b+c=10$

Também sabemos que $1$ e $2$ são zeros da função. Isto significa que:

$f(1)=0\\\\\\ a\cdot1^2+b\cdot1+c=0\\\\\\ a+b+c=0\\\\\\ f(2)=0\\\\\\ a\cdot2^2+b\cdot2+c=0\\\\\\ 4a+2b+c=0$

Com esses dados, temos o sistema de equações:

$\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=0\\9a+3b+c=10\\\end{cases}$

Para resolvermos o sistema, podemos utilizar diversos métodos. Por exemplo, temos a matriz ampliada:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\4&2&1&0\\9&3&1&10\\\end{array}\right]$

Fazemos a eliminação de Gauss.

Escolhendo o elemento $a_11=1$ como pivô, multiplicamos a primeira linha por $(-4)$ e somamos com a segunda linha

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\4&2&1&0\\9&3&1&10\\\end{array}\right]~\rightarrow L_1\cdot(-4)+L_2\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-2&-3&0\\9&3&1&10\\\end{array}\right]$

Multiplique a primeira linha por $(-9)$ e some com a terceira linha

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-2&-3&0\\9&3&1&10\\\end{array}\right]~\rightarrow L1\cdot(-9)+L_3\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-2&-3&0\\0&-6&-8&10\\\end{array}\right]$

Então, escolhemos o elemento pivô $a_{22}=-2$. Multiplicamos a segunda linha por $(-3)$ e somamos com a terceira linha

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-2&-3&0\\0&-6&-8&10\\\end{array}\right]~\rightarrow L_2\cdot(-3)+L_3\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-2&-3&0\\0&0&1&10\\\end{array}\right]$

Reescrevemos o sistema:

$\begin{cases}a+b+c=0\\-2b-3c=0\\c=10\\\end{cases}$

Com a terceira equação, tem-se que

$c=10$

Substituindo este valor na segunda equação, temos

$-2b-3\cdot10=0\\\\\\ -2b-30=0\\\\\\ -2b=30\\\\\\ b = -15$

Substituindo estes valores na primeira equação, temos

$a-15+10=0$

Facilmente, tem-se que

$a-5\\\\\\ a = 5$

A função que buscávamos é:

$f(x)=5x^2-15x+10$

Calculando $f(11)$, teremos:

$f(11)=5\cdot11^2-15\cdot11+10\\\\\\ f(11)=5\cdot121-165+10\\\\\\ f(11)=605 - 165+10\\\\\\ f(11)=450$

Este é o valor que buscávamos.