Question

Seja:

f(x) = $\left \{ {{x^2 sin\frac{1}{x,} \ se \ x \ \neq \ 0 } \atop {0,} \ se \ x \ = \ 0} \right.$

Calcule, caso exista, f'(0)

Answer 1

Dada a função definida por

$f(x) = \displaystyle \left \{ {{x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right), \:\: x\neq0} \atop {\hspace{0.75cm}0\hspace{0.75cm},\:\: x=0}} \right.$

Devemos analisar se a função possui derivada no ponto x = 0, para isso recorremos à definição de derivada num ponto,

$f'(x_0) = \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Para x₀ = 0,

$f'(0) = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$

Para avaliarmos o limite vamos utilizar o teorema do confronto. Perceba que, para todo x ≠ 0,

$-x \leq x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq x$

Portanto,

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} -x \leq \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq \lim\limits_{x\rightarrow 0} x$

$0 \leq \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 0$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$

$\implies f'(0) = 0$