Question

Seja f(x) = ax³ + bx² + cx + d,a ≠ 0. Prove que f admite um único ponto de inflexão.

Answer 1

Seja $f$ a função dada por:

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d, \qquad \textrm{com } a \neq 0.$

Uma função $f$ tem ponto de inflexão no ponto em que a sua 2.ª derivada muda de sinal. Derivamos, então, uma vez:

$f'(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)' = 3ax^2+2bx+c.$

Derivamos novamente:

$f''(x) = (3ax^2+2bx+c)' = 6ax+2b.$

A 2.ª derivada é, então, uma reta, pelo que muda de sinal no seu único zero:

$f''(x) = 0 \iff 6ax + 2b = 0 \iff x = -\dfrac{2b}{6a} = -\dfrac{b}{3a}.$

Fica assim provado que $f$ admite um único ponto de inflexão.