Question

Seja f(x) = 2^x + 3x – 7 encontre uma aproximação para uma raiz da equação transcendente 2^x + 3x – 7 sabendo que f(1)<0 e f(2)>0

Answer 1

Boa noite!

Como não foi informado qual método poderia ser utilizado, irei utilizar o método de Newton-Raphson para obter a raiz.

$f(x)=2^x+3x-7\\f'(x)=2^x\cdot \ln\; 2+3$

Para obtermos uma raiz utilizamos a fórmula:

$\phi\left(x_0\right)=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

Então:

$\phi\left(x_0\right)=x_0-\dfrac{2^{x_0}+3x_0-7}{2^{x_0}\cdot\ln\; 2+3}$

Como temos que entre 1 e 2 o sinal de f(x) muda, temos uma raiz neste intervalo.

Colocando como primeira aproximação o valor 1,5:

$\phi(1,5)=1,5-\dfrac{2^{1,5}+3(1,5)-7}{2^{1,5}\cdot\ln\; 2+3}\approx 1,4338$

Substituindo-se 1,4338 novamente:

$\phi(1,4338)\approx 1,4332$

Se substituirmos, agora, 1,4332:

$\phi(1,4332)\approx 1,4332$

Então, com 4 casas decimais, uma aproximação da raiz é 1,4332.

Espero ter ajudado!