Question

Seja f uma função real tal que: f(x)=-x^2+2k⋅x+32, com k>0. Sabe-se que o valor máximo de f ocorre para x = 6. Nessas condições, qual o valor máximo dessa função?​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

f(x) = - x² + 2k⋅x + 32, com k>0.  

Como o coeficiente do x² é negativo, então a parábola possui concavidade para baixo.  

Sendo assim, o vértice é o ponto de máximo da função. A coordenada y do vértice é o valor máximo da função.  

f(x) = - x² + 2k⋅x + 32

Se x = 6, então é raiz, significa que zera a função do 2º grau:

- (6)² + 2k⋅(6) + 32 = 0

- 36 + 12k + 32 = 0

12k = 36 - 32

12k = 4

k = 1/3.

Logo a equação é: f(x) = - x² + 2x/3 + 32

Δ = b² - 4ac  

Δ = (2/3)² - 4.(-1).(32)  

Δ = 4/9 + 128  

Δ = 4/9 + 1152/9

Δ = 1156/9

Queremos que o valor máximo da função seja yv do vértice. Então:  

f(x) = - x² + 2x/3 + 32

yv = - Δ/4a

yv = - (1156/9)/4(-1)

yv = 1156/36

yv = 289/9. (É o valor máximo desta função)