Seja f uma função definida num intervalo aberto I e p ∈ I. Suponha que f(x) ≤ f(p) para todo x ∈ I. Prove
que limx→p [f(x) − f(p)] / (x − p) = 0
desde que o limite exista.
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Se 
com 
temos que 
é um ponto de máximo em 
.
Como é aberto, então é ponto de estacionaridade (ou ponto crítico) de 
, pelo que 
. Note que se não fosse aberto, poderia ocorrer que pertencesse à fronteira do conjunto e aí já não era necessário que fosse ponto crítico.
Ora, por definição,
pelo que se conclui que esse limite é nulo.
Como
Ora, por definição,
raynnha:
eu n entendi nada, mas vlw
mds ja é a terceira resposta kkkkkkkkkk
Então vamos por partes: se f(x) ≤ f(p) para x em I, então f(p) é maior do que a imagem de qualquer outro x em I, por isso f(p) é um máximo. Em conjuntos abertos, os máximos são pontos críticos, ou seja, derivada de f deve anular-se nesse ponto: f'(p) = 0. Como a derivada é definida por aquele limite, então também se deve anular.
acho q entendi
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