Question

Seja f uma função definida num intervalo aberto I e p ∈ I. Suponha que f(x) ≤ f(p) para todo x ∈ I. Prove
que limx→p [f(x) − f(p)] / (x − p) = 0
desde que o limite exista.

Answer 1

Se $f(x)\leq f(p), \; \forall x \in I,$ com $p\in I,$ temos que $p$ é um ponto de máximo em $I$.

Como $I$ é aberto, então $p$ é ponto de estacionaridade (ou ponto crítico) de $f$, pelo que $f'(p) = 0$. Note que se $I$ não fosse aberto, poderia ocorrer que $p$ pertencesse à fronteira do conjunto $I$ e aí já não era necessário que fosse ponto crítico.

Ora, por definição, $f'(p)= \lim\limits_{x\to p} \dfrac{f(x)- f(p)}{x-p},$ pelo que se conclui que esse limite é nulo.