Question

Seja f:
R R uma função satisfazendo f(x)f(y) = f(x + y) + xy. Analise as seguintes afirmações
1. f(0) = 0;
II. f pode ser uma função constante;
III. fé ímpar;
IV. (f(x) + x) (f(x) – x) = f(2x), para todo x real.
É(são) verdadeira(s):
a) l e ll
b) ll e lll
C) l e lV
d) lV​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Afirmativa I:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(x + y) + xy} \\\\ \mathsf{f(0) \cdot f(0) = f(0 + 0) + 0 \cdot 0} \\\\ \mathsf{f^2(0) = f(0) + 0} \\\\ \mathsf{f^2(0) - f(0) = 0} \\\\ \mathsf{f(0) \cdot \left [ f(0) - 1 \right ] = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ 0, 1 \right \}}}$

Isto é, $\displaystyle \boxed{\mathtt{f(0) = 0}}$ e $\displaystyle \boxed{\mathtt{f(0) = 1}}$!!

Afirmativa II:

Sabemos que uma função constante é da forma $\displaystyle \mathtt{f(z) = c, \, \forall c \in \mathbb{R}}$. Isto posto, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(x + y) + xy} \\\\ \mathsf{c \cdot c = c + xy} \\\\ \mathsf{x \cdot y = c^2 - c} \\\\ \boxed{\mathsf{x \cdot y = c \cdot (c - 1)}}$

Ademais, suponha que $\displaystyle \mathtt{x = k}$ e $\displaystyle \mathtt{y = k + 1}$. Ou seja, que os pontos $\displaystyle \mathtt{(k, c)}$ e $\displaystyle \mathtt{(k + 1, c)}$ pertençam à função f. Então,

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(x + y) + xy} \\\\ \mathsf{c \cdot c = c + k(k + 1)} \\\\ \mathsf{c^2 - c - k(k + 1) = 0}$

Para que a função seja constante, c deverá ter valor único. Com efeito, o discriminante da equação acima deverá ser nulo!

$\\ \displaystyle \mathsf{\Delta = 0} \\\\ \mathsf{1 + 4k(k + 1) = 0} \\\\ \mathsf{4k^2 + 4k + 1 = 0} \\\\ \mathsf{(2k + 1)^2 = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{k = - \frac{1}{2}}}$

Nessas condições, temos que a função poderá ser constante. ou seja, quando $\displaystyle \mathtt{f(z) = \frac{1}{2}}$.

Afirmativa III:

Tendo em vista que uma função é ímpar quando $\displaystyle \mathtt{f(- x) = - f(x)}$; fazemos $\displaystyle \mathtt{f(x) = - f(- x)}$ e substituímos...

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = \left [ - f(- x) \right ] \cdot \left [ - f(- y) \right ]} \\\\ \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(- x) \cdot f(- y) \qquad \qquad (i)}$

Mas,

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(x + y) + xy} \\\\ \mathsf{f(- x) \cdot f(- y) = f(- x - y) + (- x) \cdot (- y)} \\\\ \mathsf{f(- x) \cdot f(- y) = f(- x - y) + xy \qquad \qquad (ii)}$

Portanto, substituindo (ii) em (i), teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(- x) \cdot f(- y)} \\\\ \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(- x - y) + xy} \\\\ \boxed{\mathsf{f(x) \cdot f(y) = - f(x + y) + xy}}$

Assim, concluímos que a função não é ímpar!

Afirmativa IV:

Considere $\displaystyle \mathtt{y = x, \, \forall x \in \mathbb{R}}$. Assim, teremos

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(y) = f(x + y) + xy} \\\\ \mathsf{f(x) \cdot f(x) = f(x + x) + x \cdot x} \\\\ \mathsf{f^2(x) = f(2x) + x^2} \\\\ \mathsf{f^2(x) - x^2 = f(2x)} \\\\ \boxed{\mathsf{\left [ f(x) + x \right ] \cdot \left [ f(x) - x \right ] = f(2x)}}$

Questão muito capciosa!! Confesso que até me perdi um pouco... Eu marcaria o último item, no entanto, os itens I e II, no todo, não estão incorretos, a meu ver!