Question

Seja f : R ! R uma função diferençável e seja f dada por f(x) = x.g(x^2).
Verifi que que f'(x) = g(x^2) + 2x^2.g'(x^2).

Answer 1

Olá, bom dia.

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função diferenciável e dada por $f(x)=x\cdot g(x^2)$. Devemos verificar que $f'(x)=g(x^2)+2x^2\cdot g'(x^2)$.

Então, calcule a derivada da função:

$(f(x))'=(x\cdot g(x^2))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função resultante do produto entre duas funções contínuas e deriváveis é calculada pela regra do produto: $(h(x)\cdot j(x))'=h'(x)\cdot j(x)+h(x)\cdot j'(x)$.
• A derivada de uma função composta por uma função contínua e derivável é calculada pela regra da cadeia: $(h(j(x)))'=j'(x)\cdot h'(j(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(x)'\cdot g(x^2)+x\cdot (g(x^2))'$

Aplique a regra da cadeia

$f'(x)=(x)'\cdot g(x^2)+x\cdot (x^2)'\cdot g'(x^2)$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=1\cdot x^{1-1}\cdot g(x^2)+x\cdot 2\cdot x^{2-1}\cdot g'(x^2)$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos. Lembre-se que $x^0=1$

$f'(x)=1\cdot x^{0}\cdot g(x^2)+x\cdot 2\cdot x^{1}\cdot g'(x^2)\\\\\\ f'(x)=1\cdot 1\cdot g(x^2)+x\cdot 2\cdot x\cdot g'(x^2)\\\\\\ f'(x)=g(x^2)+2x^2\cdot g'(x^2)~~\blacksquare$