Question

Seja f: R ⇒ R definida por:


f(x) = $\left \{ {{x^{2} -2}} \atop {-x}} \right$ se $x\geq 0$ se $x\leq 0$

A f é derivável no ponto $x_{0}$ = 0 ? Provar

Answer 1

Sabendo que a derivada é um limite, vamos aplicar a propriedade dos limites laterais para saber se a função é contínua no ponto dito.

$\lim\limits_{x\rightarrow0^+}(x^2-2)$

Trocando de variável $x=0+h$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}[(0+h)^2-2]$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}(h^2-2)\Rightarrow\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0^+}(x^2-2)=-2}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow0^-}(-x)$

Trocando de variável $x=0-h$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}-(0-h)$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}h\Rightarrow\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0^-}-x=0}}$

Desta forma $\lim\limits_{x\rightarrow0^+}(x^2-2)\neq\lim\limits_{x\rightarrow0^-}-x$ provando então que a função não é contínua no ponto, desta forma não é diferenciável no ponto $x_0=0$